三角函數值規律精品(七篇)

序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇三角函數值規律范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

篇(1)

1. 概念理解不透徹

例1 在RtABC中，各邊的長度都擴大3倍，那么銳角A的三角函數值（ ）.

A. 都擴大3倍 B. 都擴大4倍

C. 不能確定 D. 沒有變化

【錯解】A.

【分析】三角形三邊都擴大3倍后的三角形與原三角形相似，所以直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值不變. 錯解沒有真正理解三角函數的概念.

【正解】D. 三角函數的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值，大小只與角的度數有關，與邊的大小無關.

2. 忽視求三角函數的限制條件

例2 （2012?江西內江）如圖1，ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】在本題的解答過程中，根據sinA=，部分同學會錯誤地得出sinA=，導致結果與選項不符，要么隨便選一個，降低了正確率，要么開始重新審題，浪費了寶貴的考試時間. 這個錯誤的根源在于沒有真正理解正弦的概念，沒有掌握銳角三角函數的使用條件：在直角三角形中. 因此本題需先尋找∠A所在的直角三角形，而圖中∠A所在的ABC并不是直角三角形，這就需要添加輔助線，構造直角三角形. 如圖1，連接CD，得到CDAB，sinA===.

在斜三角形中求三角函數值時往往需要作高（形內或者形外）構造直角三角形.

3. 忽視分類討論

例3 RtABC的兩條邊分別是6和8，求其最小角的正弦值.

【錯解】6和8是直角三角形的兩邊，斜邊是10，最小角的正弦值是.

【分析】已知條件中并沒有指明6和8是兩條直角邊，所以本題應分兩種情況：

（1） 6和8是兩條直角邊；

（2） 6是直角邊，8是斜邊.

很多同學錯在忽視了第2種情況.

【正解】當6和8是兩條直角邊時，斜邊是10，所以最小角的正弦值是.

當6是直角邊，8是斜邊時，則另一直角邊是=2，所以最小角的正弦值是=. 綜上可知，最小角的正弦值是或.

4. 忽視銳角三角函數的范圍

例4 已知α為銳角，4tan2α-3=0，求tanα.

【錯解】4tan2α-3=0，tan2α=，

tanα=±.

【分析】銳角三角函數值等于相應直角三角形的邊的比，所以tanα>0.

【正解】4tan2α-3=0，tan2α=，tanα=

±. tanα>0，tanα=.

銳角三角函數值都是正數，在求解時不能忘記.

5. 混淆特殊角三角函數值的變化規律

例5 銳角α滿足

A. 30°

C. 45°

【錯解】A.

【分析】正弦值與正切值都隨銳角度數的增大而增大，而余弦值是隨銳角度數的增大而減小. 本題錯在沒有準確掌握特殊角的三角函數，將特殊角的三角函數值張冠李戴，混淆了銳角的正弦值、余弦值的變化規律.

【正解】cos60°=，cos45°=，又余弦值隨銳角度數的增大而減小，cos60°

在銳角范圍內，正弦與正切可以看成是單調遞增函數，即度數大三角函數值就大；而余弦正好相反.

6. 主觀臆斷

例6 在RtABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，則sin=______.

【錯解】sinA===，

sin=.

【分析】本題錯在將∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，兩者顯然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本題正確的解法是先求出∠A的度數，然后再求其正弦值.

【正解】sinA===，

∠A=60°，∠A=30°. sin=.

求一個角一半的三角函數值，應先求出這個角的度數，然后再求其三角函數值，一定不能用三角函數值的一半作為角的一半的三角函數值.

篇(2)

1、簡單、清楚，突出三角函數最重要的性質──周期性．采用"單位圓定義法"，對于任意角?，它的終邊與單位圓交點P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數中自變量與函數值之間的對應關系，即角 （弧度）對應于點P的縱坐標y──正弦；角 （弧度）對應于點P的橫坐標x──余弦?？梢缘玫椒浅Ｇ宄?、明確的表示，而且這種表示也是簡單的。另外，"x= cos ?，y= sin ?是單位圓的自然的動態（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數的基本性質就是圓的幾何性質（主要是對稱性）的解析表述"，其中，單位圓上點的坐標隨著角?每隔2π（圓周長）而重復出現（點繞圓周一圈而回到原來的位置），非常直觀地顯示了這兩個函數的周期性。

"終邊定義法"需要經過"取點──求距離──求比值"等步驟，對應關系不夠簡潔；"比值"作為三角函數值，其意義（幾何含義）不夠清晰； "從角的集合到比值的集合"的對應關系與學生熟悉的一般函數概念中的"數集到數集"的對應關系不一致，而且"比值"需要通過運算才能得到，任意一個角所對應的比值的唯一性（即與點的選取無關）也需要證明；"比值"的周期性變化規律也需要經過推理才能得到．以往的教學實踐表明，許多學生在結束了三角函數的學習后還對三角函數的對應關系不甚了了，與"終邊定義法"的這些問題不無關系。

2、有利于構建任意角的三角函數的知識結構。"單位圓定義法"以單位圓為載體，自變量?與函數值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數線與定義有了直接聯系，從而使我們能方便地采用數形結合的思想討論三角函數的定義域、值域、函數值符號的變化規律、同角三角函數的基本關系式、誘導公式、周期性、單調性、最大值、最小值等。

在學習弧度制時，學生對引進弧度制的必要性較難理解。

"單位圓定義法"可以啟發學生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來度量角，這時角度和半徑長度的單位一致，這樣，三角函數就是以實數（弧度數）為自變量，以單位圓上點的坐標（也是實數）為函數值的函數，這就與函數的一般定義一致了。另外，我們還可以這樣來理解三角函數中自變量與函數值之間的對應關系：把實數軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數軸上的任意一個實數（點） 被纏繞到單位圓上的點P(cos ，sin )。 轉貼于

3、符合三角函數的發展歷史。三角函數發展史表明，任意角的三角函數是因研究圓周運動的需要而產生的，數學史上，三角函數曾經被稱為"圓函數"。所以，采用"單位圓定義法"能更真實地反映三角函數的發展進程。

早在古希臘時代，人們就知道"相似三角形的對應邊成比例"，這是三角函數的根源，也是其本質所在，所以三角函數起源于幾何中的邊角關系。三角函數的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。到了近代，人們將三角函數作為一般的函數來研究它們的代數性質?，F代數學把它們描述成無窮無窮級數或微分方程的解，將其定義擴展到復數系。映射也是貫穿高中數學的一條主線，是人們思考問題時一種非常重要的對應關系。

4、有利于后續學習。前已述及，"單位圓定義法"使三角函數反映的數形關系更直接，為后面討論三角函數的性質和圖像奠定了很好的直觀基礎。不僅如此，這一定義還能為"兩角和與差的三角函數"的學習帶來方便，因為和（差）角公式實際上是"圓的旋轉對稱性"的解析表述，和（差）化積公式也是圓的反射對稱性的解析表述。另外，這一定義中角的度量直接采用了弧度制，能為微積分的學習帶來方便。例如，重要極限 幾乎就是定義的一個"推論"。

篇(3)

如何將任意角的三角函數值問題轉化為00～3600角三角函數求值問題

問題1：求390的正弦、余弦值

設計意圖：數學教學應當從問題開始。先安排求特殊值，再過渡到一般情形，此轉符合學生的身心特點和認知規律，意在培養學生從特殊到一般歸納問題和抽象問題的能力，引導學生在研究三角函數求職時抓坐標、抓角終邊之間的關系。同時首先考慮+2KЛ（KZ）與三角函數值之間的關系，正是體現了新課程中三角函數被看成刻畫現實。

二、教后思考分析

1、關于教學設計定位的思考。就三角函數的誘導公式來說，教學設計定位時一般會出現以下幾種傾向：其一，定位于知識的學習，通過學習，學生知道存在一些公式，可以將任意角的三角函數進行一些轉化。其二，定位于公式的學習，通過學習，學生努力分析和總結各組公式的形式規律，對“函數名不變，符號看象限”等口訣死記硬背，并追求靈活運用等解題能力的培養。其三，強調對過程的深入理解和對公式推導的細致聚焦。其四，在關注知識學習的同時，滲透數學思想方法的理解和領悟。從對教材的分析來看，蘇教版教材將三角函數作為一種數學模型來定位，力圖在單位圓中借助對稱性來考察對應點的坐標關系，這樣處理的好處是避免了任意角的象限分類和化歸，起到了利用直觀的對稱這個工具和研究手法去研究誘導公式的變化規律的目的，揭示了代數和幾何的有機結合和統一。從實際教學效果來看，學生對這樣的處理方式還是比較容易領悟和理解的

2、對角a的任意性的理解。在這節課中，角a的任意性是一個教學難點，為此我們設置了三個點（1）問題2中非30°不可嗎？角α行不行？（2）幾何畫板拖動演示感受角α的任意性（3）習題中進一步深化學生認識，隨著學生學習的深入，對這個問題還會有進一步的認識。事實上，有許多同學在一開始是將角α當成銳角去處理的，但我再教學中不過分強調角α的任意性，因為對待數學知識的教學不能一步到位，不應畢其功于一役，而應力求順其自然，水到渠成。

3.關于誘導公式作用的分析。在公式一的教學之后，學生認識到有了這組公式，可以將任意角轉化成0°～360°角，如果在公式二的推導完成后，我能引導學生認識到如果將角α看成銳角，那么π?Da就是第二象限角，這樣就可以將第二象限角的三角函數值與第一象限建立聯系，同樣，第三、四組誘導公式推導之后也做類似的工作，這樣學生對于誘導公式的作用認識可能會更深刻。

4、關于教學評價分析，我們覺得本次的教學設計和學生認知水平基本吻合。如果學生的基礎薄弱一些，我們會設計問題的指向性會更明確，為學生搭建更多的腳手架，基礎性的練習要更多一些。

篇(4)

【關鍵詞】數學公式；簡化；規律

數學公式是數學知識和數學教學的重要組成部分，但由于數學公式具有高度的抽象性和概括性，學生對公式的學習積極性不高，大部分學生更多地停留在知識的記憶層面，并且數學公式又比較多，對于學習任務較重的學生來講，更是增加了學習負擔.作為占主導地位的教師來講，就要培養學生自己歸納、總結數學公式，洞察內在的聯系，從而提高學生的學習興趣和成就感.作者就三個示例闡述如何將數學公式化繁為簡，展示數學公式的魅力.

一、特殊角的三角函數值

在三角函數值的學習過程中，0°，30°，45°，60°，90°占據重要的地位，它們所對于的三角函數值起著基礎性的作用.而三角函數的值是從直角三角形邊的比值推導得來，對于學生來講，理解不是難事情，但是在以后的運用中若需要三角函數值，不可能再去推導和查閱公式，學生必須記憶，繁多的公式對于學生來講是一件難事情，常見教材或者工具書的三角函數表如下：

在這個簡化的公式表中，各個函數值的分子具有較強的規律性，對于學生來講具有一定的新穎感，也便于學生記憶.

二、三角形、平行四邊形和梯形的面積公式

在大多數的教材中，三角形、平行四邊形和梯形的面積公式都只是單純的給出公式，并沒有給出這幾個公式的聯系，如下表.

作為占主導和引導地位的老師來講，在學習完這些公式，就應該總結、歸納這些公式的內在聯系：梯形的面積公式可以統領三角形和平行四邊形.當梯形公式中的CD=0時，就退化為三角形，其面積S=12（AB+CD）?h=12（AB+0）?h=12AB?h；

當梯形公式中的CD=AB時，就特殊化為平行四邊形，其面積為S=12（AB+CD）?h=12（AB+AB）?h=AB?h.這既可以培養學生歸納知識的能力，又可以讓學生知道事物之間可以相互轉化的道理.

三、橢圓與圓的面積公式

對于圓的面積公式S=πr2（r為半徑），很多人都很熟悉，但是對于橢圓的面積公式S=πab（a，b為橢圓的長半軸和短半軸）就很陌生.學生在學習的過程中，應該明白圓和橢圓的特殊關系：從下圖就可以清楚知道二者的內在聯系，

篇(5)

舊教材對概念的引入一般都是先給出定義，然后再舉相應的一些例子予以說明。這樣教學邏輯性是強了，但不能照顧到學生的思維能力。而新教材中一些的問題在恰當的地方提了出來，不但引導教師的數學活動，而且能夠培養學生的問題意識，帶著這些問題學生可以更好的自主學習和培養學生的創新精神。在這種理念下出版的新教材相對于舊教材在問題設置方面變化較大，問題意識貫穿在整個教材的始終。對于穿插在教材中的“觀察”、“思考”、“探究”、“觀察與猜想”、“閱讀與思考”、“探究與發現”、“信息技術應用”等拓展性欄目，有效的調節了數學課堂學習的氣氛，改變了傳統數學教材的呆板面目，為新教材增色不少。而且新的課程標準也強調了知識的聯系性，通過不同數學內容的聯系和啟發，強調類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運用，學習數學地思考問題的方式，提高學生學習數學的思維能力，培養學生的理性精神，教師都可以通過新教材中的一些設計的問題在課堂教學中由學生自主完成，很多有經驗的教師都認為課堂上要大膽留給學生自主學習的空間，把學生小組合作學習與學生自主學習有機結合起來，讓每個學生都積極地參與到學習中去，成為課堂上真正的主人。

在高中學生掌握的三角函數的主要內容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數、同角三角函數間的關系、誘導公式、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，以及三角函數的圖象和性質。在舊教材中三角函數安排在第一冊（下）第四章即在高一下學期進行學習。而新教材安排在必修4的第一章和第三章，根據黑龍江省的教學順序，在高一上學期的期中考完試之后進行學習。

現在我從幾個角度去分析三角函數這部分內容的新舊教材內容編寫及體系設置的差異：

（1）在形式上的對比：

舊教材是36節課時，新教材是24節課時。

從教材內容先后順序的調整，更符合學生的認知規律，體現課程標準中倡導的螺旋式的教學模式。新教材展示了研究數學所滲透的多種思想方法，如化歸思想，數形結合思想，換元思想，分類討論思想。同時在數學式子和圖形的變化中，讓學生領會分析、探索，類比，平移，伸縮變換等這些常用的基本方法，培養學生用數學的意識，從而使學生在獲取知識和運用知識的過程中發展思維能力，提高思維品質，培養創新精神。

（二）在內容上的對比：

1、新教材引入了計算器計算。

2、任意角三角函數一節弱化了正弦線，余弦線，正切線，強調了坐標運算。

3、新教材弱化同角關系式結構，減少了tanα·cotα=1 強調運用與推導。

4、誘導公式加入了正切公式，位置與順序做了調整。

5、新教材將兩角和差的正余弦公式放在“三角函數圖與性質”之后。

6、新教材將“函數y=sin(ωχ+φ) 的圖象”一節放于正切函數圖象之后。

7、新教材刪去了“已知三角函數值求角”的內容。

8、新教材增加了“三角函數模型的應用”的內容。

9、舊教材中只有“三角函數與歐拉”，“潮汐與港口”兩個閱讀材料。

新教材有三種專題：

閱讀與思考中包括：“三角學與天文學”和“振幅、周期、頻率、相位” 。

探究與發現中包括：“函數y=Asin(ωχ+φ) 及函數y=Acos(ωχ+φ) 的周期 ”和“利用單位圓中的三角函數線研究正弦函數、余弦函數的性質”

信息技術應用中包括：“利用正切線畫函數y=tanχ,x∈(-■,■) 圖象”和“利用信息技術制作三角函數表”。

10、例題習題中出現了許多高考習題，以及方法與思維較為靈活的綜合習題等。

內容的調整降低了難度，使教師在教學中既注重基礎知識又加強能力的培養，我們在教學中可以依據教材的特點，教材幾乎每一部分的右側都有“？”，讓學生可以在課上或課下進行積極的研究與討論，教師在備課過程中可以設計問題教學法，引導學生帶著問題進行學生。教學中注重分層教學，輔助以多媒體教學手段，編寫了分層作業，其中有基礎作業，能力作業等。

（三）在教學要求上： 舊教材的具體要求是：

1、使學生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算。

2、使學生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式。

3、使學生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 通過公式的推導，了解它們的內在聯系，從而培養邏輯推理能力。

4、使學生能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。

5、使學生會用單位圓中的三角函數線畫出正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象，并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數的圖象；理解周期函數與最小正周期的意義，并通過它們的圖象理解這正弦函數、余弦函數、正切函數的性質；會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數的簡圖，理解A、ω、φ的物理意義。

6、使學生會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示。

而新教材的具體要求是：

1、了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與度的互化。

2、借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式的正弦、余弦、正切，能畫出的y=sinx,y=cosx,y=tanx圖象，了解三角函數的周期性。

3、借助圖象理解正弦函數，余弦函數在[0,2π] ，正切函數在(-■,■)上的性質（如單調性、最大和最小值、圖象與x軸交點等）。

4、理解同角三角函數的基本關系式： sin2x+cos2x=1,■=tanx.

5、結合具體實例，了解y=Asin(ωχ+φ)的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin(ωχ+φ)的圖象，觀察參數A,ω,φ對函數圖象變化的影響。

6、會用三角函數解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型。

7、經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用。

8、能以兩角差的余弦公式導出兩角和差和正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。

9、能運用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導學生推導半角公式，積化和差、和差化積公式（公式不要求記憶）作為基本訓練，使學生進一步提高運用聯系轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數學思想在三角恒等變換中的作用。

（四）教學體會及建議

1、重視誘導公式的歸納和作用：因為在其它章節中只要是與角有關系的問題,例如：解三角形中；直線的傾斜角和斜率；立體幾何中的成角問題等都會涉及到誘導公式的使用。它的作用是將任意角的三角函數化為銳角三角函數，從中領會化歸的數學思想及蘊含的創新意識。

2、三角函數線作為三角函數的幾何表示，可適當補充一些三角函數線的應用，如比較三角函數值的大??；已知求x, 讓學生增強“數形結合”的意識，培養學生運用數形結合的思想方法。也為今后學習有關內容打下基礎。

3、同角公式的應用中，對于已知某任意的一個三角函數值，求該角的其他三角函數值，如已知sinα+cosα求sinα,cosα。解決這個問題，關鍵在于如何正確運用平方根的概念，正確的進行分類。讓學生自己去體會總結最佳途徑，以免多走彎路。

篇(6)

一、知識體系

同角三角函數關系式、誘導公式、兩角和差的公式、二倍角公式及其綜合應用.

三角恒等變換是三角函數的基礎，是一種重要的數學能力，要立足于教材，弄清公式的來龍去脈，同時要注意對公式的正用、逆用以及變形運用的訓練，要在靈、活、巧上下功夫，以增強變換意識.

二、核心解讀

1. 三角恒等變換是一種基本技能，從題型上一般表現為對三角式的化簡、求值與證明. 對所給三角式進行三角恒等變換時，除需使用三角公式外，一般還需運用代數式的運算法則或公式，如平方差公式、立方差公式等. 對三角公式不僅要掌握其“原形”，更要掌握其“變形”，才能在解題時真正達到運用自如，左右逢源的境界.

2. 在運用三角公式進行三角變換時，要從函數名稱和角的差異兩方面綜合分析，再從差異的分析中決定公式的選取. 一般變換的規律是：切割化弦，異名化同名，異角化同角，高次化低次，無理化有理.

三、近幾年高考命題特點

1．考查題型以選擇、填空為主，分值約占5%，10%，基本屬于容易題和中檔題.

2．重點考查兩角和與差的三角公式和倍角公式等，其中對倍角公式靈活運用的考查是高考的熱點.

四、2011年高考真題再現

考點1考查同角三角函數關系

（1）應用同角之間的平方關系、倒數關系和商數關系解決三角函數的求值、化簡、證明等問題；

（2）已知一個角的三角函數值，求其他角的三角函數值時，要注意對角化簡，一般是把已知和所求同時化簡，化為同一個角的三角函數，然后求值.

例1（2011年全國理科卷）已知∈，，sin= ，則tan2=__________.

評析先由∈，，sin= 和 sin2+cos2=1，求得 cos＝，再由tan= ==，求得tan2= = = .

考點2考查誘導公式

（1）+2k（k∈Z），，±，±的三角函數值是化簡的主要工具. 使用誘導公式前，要正確分析角的結構特點，然后確定使用的誘導公式；

（2）將不能直接使用誘導公式的角通過適當的角的變換化為能使用誘導公式的角，如：+=2+ +等（注：若k+出現時，則要分k為奇數和偶數討論）；

（3）誘導公式的應用原則是：負化正，大化小，化到銳角為終了，特殊角能求值則求值；

（4）化簡是一種不能指定答案的恒等變形，化簡結果要盡可能使項數少、函數的種類少、次數低、能求出值的要求出值、無根式、無分式等.

例2(2011年遼寧理科卷)設sin= ，則sin2=_________.

評析本題考查了二倍角公式等三角函數知識.

sin2=cos=2sin2 1=2

易錯提醒利用同角三角函數關系、誘導公式時，容易出現符號錯誤.

考點3考查兩角和、差公式

兩角和、差的三角函數公式是高考熱點之一，其題型既有小題(選擇題、填空題)，也有大題(靠前的解答題)，主要是容易題和中等題. 重點是考查基本公式的應用和恒等變換思想.

例3(2011年浙江理科卷)若0

評析因為+= ，所以cos =cos=coscos+sin ?sin= == .

技巧點撥解題的關鍵在于把“所求角”表示為“已知角”. ①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示兩個“已知角”的和或差的形式；②當“已知角”只有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”；③常見的配角技巧：=（+），=（），= [（+）+（）]，=[（+）（）]，+= ，等等.

考點4考查形如f(x)=asinx+bcosx+k的函數

若函數f （x）的解析式通過三角恒等變換可轉化為f （x）=asinx+bcosx+k的形式，則函數f （x）的解析式可化為f （x）=sin（x+）+k（其中cos= ，sin= ）的形式.

例4（2011年安徽文科卷）設f （x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f （x）≤ f 對一切x∈R恒成立. 有以下結論：①f=0；②f ＜ f ； ③f （x）既不是奇函數也不是偶函數；④f （x）的單調遞增區間是（k∈Z）；⑤存在經過點（a,b）的直線與函數f （x）的圖像不相交. 以上結論正確的是 _____________(寫出正確結論的編號).

評析先將f （x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0變形為f （x）= sin（2x+），再由f （x）≤對一切x∈R恒成立，得a，b之間的關系，然后順次判斷命題真假.

由f （x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）及f （x） ≤對一切x∈R恒成立，知=，求得a=b>0. 所以f （x）=bsin2x+bcos2x=2bsin.

①f =2bsin=0，故①正確；

②==2bsin，故②錯誤；

③f （x）≠±f （x），故③正確；

④因為b>0，所以2k≤2x+≤2k+，解得k≤x≤k+，故④錯誤；

⑤因為a=b>0，要使經過點（a,b）的直線與函數f （x）圖像不相交，則此直線與x軸平行，又f （x）的振幅為2b>b，所以該直線必與f （x）圖像有交點，故⑤錯誤.

答案：①③.

考點5考查二倍角公式

掌握倍角公式和半角公式，運用公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值以及恒等式的證明，是高考的熱點.

注意以下幾組常見的公式：

（1）用cos表示sin2，cos2,tan2：sin2 =；cos2 = ；tan2 = ；

（2）用cos表示sin，cos，tan：sin=±；cos=±；tan= ±；

（3）用sin,cos表示tan：tan ==.

注：上述三組公式從左到右起到一個擴角降冪的作用，從右到左起到一個縮角升冪的作用.

例5(2011年江蘇卷)已知tan=2，則的值為__________.

評析因為tan2 ===，而tan= cot2x，所以tan2x=,又因為tan==2，解得tanx= ，所以的值為.

考點6考查綜合應用

三角函數的化簡求值是?？碱}型. 它往往出現在小題中，或者是解答題中的一問，其中必然滲透著簡單的三角恒等變換和三角函數的性質，著重考查三角函數的基礎知識、基本技能和基本方法.

例6（2011年天津理科卷）設函數f（x）=tan2x+，設∈，若f =2cos2，求的大小.

評析由f =2cos2，得tan=2cos2，即 = 2（cos2sin2），即 = 2（cossin）?（cos+sin），又因為sin+cos≠0，所以可得（cossin）2 = ，解得sin2= ，由∈，可得2∈，所以2=，=.

五、2012年高考命題趨勢

1. 考查兩角和差的三角函數公式，經常以小題形式出現，難度不大；

2．考查二倍角公式的運用，題型可以是小題，也可以是大題，為中檔題；

3．考查三角恒等變換的化簡與求值問題，一般都在大題中進行考查；

4．解答題屬中、高檔題目.對三角恒等變換的考查形式有穩重求變、求活和“能力立意”的命題趨勢.

1．已知角的頂點與原點重合，始邊與橫軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2=_________.

2．若tan=3，則的值等于_________.

3．已知sin=+cos，且∈，則的值為___________.

篇(7)

（圖一）

1復習長方形的面積求法。

2教師畫出平行四邊形并給出定義。

3教師給出平行四邊形面積公式并證明。其中每進行一步，教師都依據學生學過的知識闡述地一清二楚。（圖一）

4練習。教師舉出許多大小，邊長，角度各不相同的平行四邊形讓學生算出其面積，學生都準確無誤的算出來了。

表面上看，這節課的效果已達到，可當韋特海默又畫了一個圖（圖二）讓學生求面積時，大部分學生模仿老師的證明畫了圖也茫然，只有少數學生作了輔助線（圖三），或把紙轉45度，再畫輔助線。

（圖二）

（圖三）

由此可見，大多數學生并未真正理解所學內容，只是機械記憶，盲目使用公式。學生在課堂上獲取的都幾乎從天而降，他們在學習過程中沒有自己真正的思維活動，沒有跳一跳摘到果子的喜悅，沒有自己豁然開朗的東西。因此，教學中應當強調學生的主體活動，教學設計中注意創新意識根據不同的材料作為“先行組織者”；根據不同的內容選擇合理的模式等等。

青年教師在教學初期一般都會有這樣的感覺：學生對新課的概念部分似乎沒

什么興趣，對后面的例題舉例聽得倒專心些。于是不免有些教師就前面草草收場，后面再來多給題型以求見多識廣。結果學生只是死記硬背，剛開始還能依葫蘆畫瓢，時間一長，葫蘆都想不起了，就更別提畫瓢了。下面我想舉一個例子說明一下。

在“同角三角函數基本關系”的教學中，一般都采取這樣的教學：先由三角函數定義直接推出基本關系，再舉例說明關系式在三角求值，化簡，證明中的應用。這樣做雖然可以很快地把這些知識交給學生，可不盡人意之也很快就會在后面的復習中表現出來。比如，“已知＝求的值”一題，學生在新課練習中都會用同角關系式，但過段時間再做時，一部分中間的學生往往會出現這樣的解法：由終邊找出三角函數定義中的x，y，r，再求其他三角函數值。當然，我們提倡一題多解，可這些學生是提示他用關系式他會解，但自己就想不到那兒去。這就是學生反映的一聽甚至一點就明白，為什么自己就想不到。而這正是學生數學思想方法存在缺陷的表現。要想讓學生能做到也能想到，從而使學習處于自覺狀態，是照本宣科式的教學難以實現的。數學教材為我們提供的僅僅是數學知識的一種邏輯體系，它的順序一般是“定義──定理，公式，法則──應用”，而學生數學學習的思維活動順序是“問題──定理，公理，法則──定義”。因此，教師要把教材提供的邏輯順序轉變為數學活動順序，并結合學生的數學思維發展水平，安排恰當的數學課堂教學情景和數學思維活動進程，達到提高課堂效率的目的。比如剛才那個例子，從認知心理學的觀點出發，教師可以結合“先行組織者”的使用來設計教學情景。

1． 復習三角函數定義。按照定義，一個角的各三角函數值是完全由它的終邊所確定的，即給定角的終邊，角的各個三角函數值就唯一確定了。

2． 問題：給定一個角的某個三角函數值（如正弦值），這個角的終邊是否也能確定？

3． 已知＝，試確定終邊的位置，以及的值。

由于學生在學習三角函數定義時已經有了用相似三角形來說明定義的合理性經驗，又有“三角函數線”的知識，因此這里容易想到：如果設P（x，y）為 終邊上一點，不失一般性，可令y＝4，r＝5，則x＝3于是P點坐標是（3，4）或（－3，4），故 終邊確定，這個角的其他三角函數值也可以確定：。當把這些放到一起時，學生會發現既然x，y，r之間有關系，那各個三角函數之間也應該可以互相表示，而且如果有了角 的各個三角函數之間關系的一般表達式，那么像“求值”之類的問題就會變得非常容易，這樣就使接下來的基本關系式的推導變得水到渠成。

以上這種設計我個人認為它不但能夠使學生感到教學過程的自然，而且可使學生從中體驗到如何將所考察對象的內容進行逐步擴展，這其中包括試驗，猜想，聯想，類比，合情推理等等，而這是培養學生獨立思考能力，創造探索新知識能力的最好體現。

其實，數學思想方法是建立數學和用數學解決問題的指導思想，是處理數學問題的基本策略，是數學的靈魂。引導學生領悟和掌握以數學知識為載體的數學思想方法，是使學生提高思維水平，真正懂得數學的價值，建立科學的數學觀念，從而發展數學，運用數學的重要保證，也是現代教學思想與傳統教學思想的根本區別之一。由于數學思想是數學內容的進一步提煉和概括，是一種隱性的知識內容，要通過反復體驗才能領悟和運用。而數學方法要通過數學內容才能反映出來，并且要在解決問題的不斷實踐中才能理解和掌握。因此，在數學課本中即使是直接指出“XX思想”，“XX方法”也不一定能起到應有的作用。于是教師要貫徹好數學思想方法的教學可以考慮通過以下途徑：（1）充分挖掘教材中的數學思想方法；（2）有目的，意識，計劃，步驟地滲透和介紹有關數學思想方法。同時注意──a反映數學發展規律，介紹數學概念的形成背景，應用生活，數學中的矛盾設置問題；b根據教學內容滲透，介紹，突出相應的或隱含的數學思想方法；c引導學生自己探索和體驗數學思想方法──三條原則。通過“直覺──試探──思索──猜想──證明”這一般過程去學習數學和數學思想方法。

我國一直有著強調數學應用價值的傳統，一系列的教學大綱中都提到了要提高學生應用數學知識去分析和解決實際問題的能力。盡管如此，我們的數學教學實踐還是表現出對“思維訓練”的過多偏愛。教材中有關應用數學的知識也較少，即便有點，也被教師以教學進度等原因給“淡化”了。要想提高學生解決實際問題的能力，光靠幾道應用題是起不到本質作用的，我們必須充分應用我們的每一節課，充分體現“觀察──實驗──思考──猜想──證明（或反駁）”這一數學知識的再創造過程和理解過程，展現概念的提出過程，結論的探索過程和解題的思考過程；從對數學具有歸納，演繹兩個側面的全面認識；從使個體掌握知識，形成能力和良好思維品質的全方位要求出發，去設計一個單元，一堂課的教學目標，問題提出，情景創設的教學過程的各個環節，使學生自主地進行數學學習，通過他們自己獨立的思維活動來獲取知識，發展思維能力和創造力，從而達到學以致用的目的。

參考文獻

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