時間:2022-03-08 04:11:06
序論:寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感,挖掘那些隱藏在內心深處的真相,好投稿為您帶來了七篇參數方程范文,愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑,助力您的創作。
一、探求幾何最值問題
有時在求多元函數的幾何最值有困難,我們不妨采用參數方程進行轉化,化為求三角函數的最值問題來處理。
例1(1984年考題)在ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a、b、c,且c=10,,P為ABC的內切圓的動點,求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。
解由,運用正弦定理,可得:
sinA·cosA=sinB·cosB
sin2A=sin2B
由A≠B,可得2A=π-2B。
A+B=,則ABC為直角三角形。
又C=10,,可得:
a=6,b=8,r=2
如圖建立坐標系,則內切圓的參數方程為
所以圓上動點P的坐標為(2+2cosα,2+2sinα),從而=80-8cosα
因0≤α<2π,所以
例2過拋物線(t為參數,p>0)的焦點作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點,設0<θ<π,當θ取什么值時,|AB|取最小值。
解拋物線(t為參數)
的普通方程為=2px,其焦點為。
設直線l的參數方程為:
(θ為參數)
代入拋物線方程=2px得:
又0<θ<π
當θ=時,|AB|取最小值2p。
二、解析幾何中證明型問題
運用直線和圓的標準形式的參數方程中參數的幾何意義,能簡捷地解決有關與過定點的直線上的動點到定點的距離有關的問題。
例3在雙曲線中,右準線與x軸交于A,過A作直線與雙曲線交于B、C兩點,過右焦點F作AC的平行線,與雙曲線交于M、N兩點,求證:|FM|·|FN|=·|AB|·|AC|(e為離心率)。
證明設F點坐標為(c,0),
A點坐標為(,0)。
又,設AC的傾角為α,則直線AC與MN的參數方程依次為:
將①、②代入雙曲線方程,化簡得:
同理,將③、④代入雙曲線方程整理得:
|FM|·|FN|=
|FM|·|FN|=|AB|·|AC|。
雙曲線的一條準線與實軸交于P點,過P點引一直線和雙曲線交于A、B兩點,又過一焦點F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點,求證:|FC|·|FD|=2|PA|·|PB|。
證明由已知可得。設直線AB的傾角為α,則直線AB
的參數方程為
(t為參數)
代入,可得:
據題設得直線CD方程為(t為參數)
代入,得:,從而得,
即得|FC|·|FD|=2|PA|·|PB|。
三、探求解析幾何定值型問題
在解析幾何中點的坐標為(x,y),有二個變元,若用參數方程則只有一個變元,則對于有定值和最值時,參數法顯然比較簡單。
例5從橢圓上任一點向短軸的兩端點分別引直線,求這兩條直線在x軸上截距的乘積。
解化方程為參數方程:
(θ為參數)
設P為橢圓上任一點,則P(3cosθ,2sinθ)。
于是,直線BP的方程為:
直線的方程為:
令y=0代入BP,的方程,分別得它們在x軸上的截距為和。
故截距之積為:()·()=9。
四、探求參數的互相制約條件型問題
例6如果橢圓與拋物線=6(x-n)有公共點,試求m、n滿足
的條件。
分析如果本題采用常規的代入消元法,將其轉化為關于x的一元二次方程來解,極易導致錯誤,而且很難發現其錯誤產生的原因。若運用參數方程來解,則可“輕車熟路”,直達解題終點。
解設橢圓的參數方程為
拋物線的參數方程為
(t為參數)
因它們相交,從而有:
由②得:
代入①得:
配方得:。即
一、已知分式方程無解求參數的值
類型一分式方程化為整式方程后未知數的系數不含參數
點評:對于含有參數的分式方程無解問題,首先應將分式方程化為整式方程.對于化去分母的整式方程,如果未知數的系數不含參數,可先求出整式方程的解,接著再令分式方程的最簡公分母等于零,求出原分式方程的增根,然后令整式方程的解等于原分式方程的增根,這樣會得到一個關于參數的一元一次方程,最后解這個一元一次方程,即可求出參數的值.
類型二分式方程化為整式方程后未知數的系數含有參數
a的值是1或2.
點評:對于含有參數的分式方程無解問題,將分式方程化成最簡整式方程ax=b后,如果未知數的系數a含有參數,在求這個整式方程的解時,需要對這個整式方程的系數進行討論.當a=0,b≠0時,最簡整式方程ax=b無解,此時原分式方程也無解;當a≠0時,可先求出最簡整式方程的解,然后再仿照未知數的系數不含參數的情形求解.
從上面也可以看出,分式方程無解一般有兩種情況:(1)原方程化去分母后的整式方程無解;(2)原方程化去分母后的整式方程有解,但這個解卻使原方程的分母為0,它是原方程的增根,從而原方程無解.
關鍵詞: 極坐標 參數方程 高考題
坐標系與參數方程的內容一起出現在新課標選修4-4中,因此在高考數學的考查過程中對這一部分內容的考查也多以綜合交叉題目的形式出現.本文通過這部分內容在高考中考查的形式,并結合具體的例子,為師生的教和學提供參考.
1.關于極坐標和參數方程的考點
首先,對于極坐標而言,高考對這一部分內容的要求是能用極坐標準確地表示出極坐標系中點的位置,并且區別它與平面直角坐標系中所表示的點的位置和實現兩者之間的互化.在與參數方程結合在一起時,要求同學們能用方程表示出極坐標系中所給出的簡單圖形,通過將此類圖形在平面直角坐標系和極坐標系中的方程的比較,理解當平面圖形用方程表示時選擇適當的坐標系的意義.
其次,關于參數方程方面,我們要理解參數方程和參數的意義,對于直線、圓和圓錐曲線的參數方程要能用適當的參數寫出來,對于簡單的相關問題要能夠用直線的參數方程解決,能理解和運用直線的參數方程和參數的幾何意義.
2.高考對這部分內容的考查
通過對近年高考試題的回顧和分析,我們不難發現,近些年高考中對于這部分內容的考要是以解答題的形式出現的,試題難度相對比較簡單,得分是比較容易的.在2009年的高考試題中將極坐標、直線與圓的位置關系、不等式思想等結合在一起考查;2010年也對極坐標方面的內容進行了考查,題中設計了直線和圓的位置關系,以及圓在極坐標系中的三種方程問題,并在題中給出的圖形條件下求區域的面積.
在極坐標方面從目前新課標歷年高考試題中可以看出,高考對這一部分內容的考查主要集中在極坐標系與平面直角坐標系之間的互換、常見曲線在極坐標系中的方程等內容方面,對這方面的考查還是比較簡單的.在參數方程這一方面,高考對于此的考查主要集中在參數方程與普通方程之間的互化方面.所以對于后兩年高考在這方面的考查,筆者預測在難度和題型方面仍將保持穩定,而且往往會使極坐標和參數方程結合在一起考查的形式,這對于老師授課和學生學習方面都要引起重視.
3.例題剖析
4.極坐標與參數方程的考點中應該注意的問題
在這部分內容中,近些年的高考試題主要考查的是極坐標方程在圓和直線中的應用,以及極坐標與平面直角坐標的互換;在參數方程方面主要考查的是參數方程與普通方程之間的互化,用極坐標方程、參數方程研究有關距離、交點和位置的問題等.
首先,在參數方程方面,我們一定要了解參數方程及其意義,其與普通方程之間的互化是一個重點,在參數方程轉化為普通方程的時候,我們常用的方法是代入法、三角恒等式消元法和加減消元法等方法,在使用過程中一定要注意同解變形.在寫直線、圓和圓錐曲線參數方程時,學生一定要注意參數方程中參數的幾何意義,因為幾何意義在參數方程的解題中能為我們帶來方便.同學們一定要重視直線參數方程的幾何意義.
其次,在極坐標內容方面,我們要注意平面圖形在平面直角坐標系伸縮變換的作用下的變化狀況,同時還要注意將其與平面直角坐標系中點的位置相區別,并要能實現互化.在使用極坐標與平面直角坐標系互化公式的時候,我們要對它的使用條件予以注意,要符合以下要求:極軸與軸正向重合、極點與原點重合、取相同的單位長度.在解題過程中化繁為簡,化難為易是一個原則,在這個原則指導下,當我們面臨極坐標的有關試題時就要把他們轉化為平面直角坐標系去解題,因為學生對后者相對更熟悉,應用起來更得心應手.如果在做題過程中直接將問題在極坐標系中解決,這時我們就要將其與三角形聯系起來,合理利用有關三角形方面的原理和公式.
5.復習與應試建議
第一,由新課標對于極坐標和參數方程的要求來看,這部分的要求內容整體難度不大,學生在復習時一定要遵循適度原則,緊扣大綱要求,不要深挖,打好基礎才是關鍵.復習時對相關基礎知識和定理定式一定要認真理解,熟悉掌握.第二,在變量換算上多放精力,減少低級錯誤的出現.因為變量換算是很多學生普遍反應的難點和弱點,所以教師在教學過程中要注意在這方面給予學生更多的指導,引導學生復習.第三,該種題目類型在解題時往往有多種方法,學生要理清思路,弄清問題的本質要點,梳理清楚解題程序,然后注意參數方程和普通方程之間的互換、直線與圓等要點問題的思考.第四,學生在答題過程中要注意規范,對于很多學生來講不是不會,而是不注意答題規范,因為高考改卷是流水化的過程,所以每一題老師在閱卷過程中花的時間很多,寫得規范清晰有利于老師迅速找出關鍵要點,這對于老師評分是一個不可忽視的要素.
綜上所述,在極坐標和參數方程的學習和教學過程中,學生首先要打好基礎,要能準確和熟練地應用基本的原理和公式,只要這樣才能保證在公式的運用過程中不犯低級錯誤.其次,把握解題思想,我們要樹立化繁為簡、化難為易、相互轉化的思想,只有在將題目轉化為所熟知的問題,我們解決起來才能得心應手.
參考文獻:
[1]師增群.極坐標與參數方程試題研究和應試策略――以2013年高考數學新課標全國卷第23題為例[J].當代教育實踐與教學研究,2014(6):69-71.
一、計算問題
利用直線參數方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα(t為參數)中參數t的幾何意義解決與距離、弦長、線段長、點的坐標有關的問題.
例1:已知直線l過點P(2,0),斜率為■,直線l和拋物線y■=2x相交于A、B兩點,設線段AB的中點為M,求:(1)|PM|;(2)M點的坐標.
解:(1)設直線的傾斜角為α,依題意可得tanα=■,
sinα=■,cosα=■,
直線l的參數方程為x=2+■ty=■t(t為參數)(*).
直線l和拋物線相交,將直線的參數方程代入拋物線方程y■=2x中,整理得
8t■-15-50=0且Δ>0.設方程的兩個根為t■,t■,t■+t■=■,t■t■=-■.
由于M為線段AB的中點,根據t的幾何意義,得|PM|=|■| =■.
(2)中點M所對應的參數為t■=■=■,將此值代入直線的參數方程(*),
點M的坐標為x=2+■×■=■y=■×■=■,M(■,■)即為所求.
一般地,直線x=x■+tcosαy=y■+tsinα(t為參數)與曲線y=f(x)交于A,B兩點,對應的參數分別為t■、t■,則線段|AB|的中點M對應的參數t=■.
由t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.
一般地,直線與二次曲線相交,用直線參數方程解題時,則有弦長為|t■-t■|;直線上的點P到兩交點的距離和為|t■|+|t■|,距離涉及t的正負時要加以區分.
因為,直線參數方程的標準方程中含有三角函數cosα,sinα(α是直線的傾斜角),所以,在解決直線與圓錐曲線有關問題時,可以將其轉化為三角函數問題解決,體現了轉化、化歸的數學思想,達到數學知識的綜合運用,在解高考數學試題時也有用武之地.下面我們以高考題為例加以說明.
二、范圍問題
求參數的取值范圍,是高考的熱點和難點問題,由于求參數范圍的方法眾多,如何選擇往往成為考生思考的難點.如果選擇直線的參數方程,利用三角函數的值域求解,則比較簡單.
例2(2008年高考福建卷理科第21題):如圖,橢圓■+■=1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0),O為坐標原點.
(Ⅰ)已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動,恒有|OA|■+|OB|■
解:(Ⅰ)略,橢圓方程為■+■=1.
(Ⅱ)設直線AB的參數方程為x=1+tcosθy=tsinθ(t為參數),代入■+■=1得
(b■cos■θ+a■sin■θ)t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.
設上述方程的兩根為t■,t■,由韋達定理知:
t■+t■=-■t■t■=■①
根據t的幾何意義,不妨設|FA|=t■,則|FB|=-t■,|AB|=t■-t■,
又設A(1+t■cosθ,t■sinθ),B(1+t■cosθ,t■sinθ),
|OA|■+|OB|■
(1+t■cosθ)■+(t■sinθ)■+(1+t■cosθ)■+(t■sinθ)■
化簡得:1+(t■+t■)cosθ+t■t■
1-■+■
■
顯然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■
即(a■+b■)sin■θ-a■b■
■>sin■θ恒成立,
sinθ∈[0,1],
■>1,②
橢圓的一個焦點F(1,0),C=1,b■=a■-c■=a■-1③
由②,③得a■
因為a>0,b>0,所以a0,
解得a>■或a■.
本例在解題中,充分發揮了直線參數方程在解題中的優勢(參數的幾何意義、三角函數變換),由恒成立問題、三角函數的值域,巧妙地利用橢圓中a、b、c的關系實施轉化,得到了關于a的二次不等式使問題獲解,解題目標明確,思路清晰,方法可行.
三、證明問題
例3(2013年全國理科高考卷第21題):已知雙曲線C:■-■=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F■,F■,離心率為3,直線y=2與C的兩個交點間的距離為■.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)設過F■的直線l與C的左、右兩支分別相交于A,B兩點,且 |AF■|=|BF■|,證明:|AF■|,|AB|,|BF■|成等比數列.
解:(Ⅰ)易得a=1,b=2■,c=3,雙曲線方程為x■-■=1.
(Ⅱ)如圖,F■(3,0)
設過F■的直線為x=3+tcosκy=tsinα(t為參數)
其中|AF■|=-t■,|BF■|=-t■,
|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4,即-t■+t■=4①
將直線參數方程代入雙曲線方程,得8(3+tcosθ)■-t■sin■θ=8,化簡得
(9cos■θ-1)t■+48cosθ·t+64=0.
由韋達定理知,
t■+t■=■,t■t■=■.
由①式知|AB|=|t■-t■|=4,
|AB|■=16②
另一方面,
(t■-t■)■=(t■+t■)■-4t■t■=(■)■-4×■=16,解得cos■θ=■.
|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③
一、考查點或曲線的極坐標與直角坐標的互化
例1 (2007年新課標)O1和O2的極坐標方程分別為ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.
(1)把O1和O2的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)求經過O1和O2交點的直線的直角坐標方程.
解析 以極點為原點,極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標系,兩坐標系中取相同的長度單位.
(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.所以x2+y2=4x.
即x2+y2-4x=0為O1的直角坐標方程.同理x2+y2+4y=0為O2的直角坐標方程.
(2)由x2+y2-4x=0,
x2+y2+4y=0,解得x1=0,
y1=0,x2=2,
y2=-2.即O1,O2交于點(0,0)和(2,-2).過交點的直線的直角坐標方程為y=-x.
方法總結 1.要抓住極坐標與直角坐標互化公式x=ρcosθ
y=ρsinθ和ρ2=x2+y2
tanθ=yx(ρ≥0,
0≤θ≤2π)這個關鍵點,這樣就可以把極坐標問題轉化為直角坐標問題解決.2.對點的極坐標與直角坐標的互化要抓住公式,但要注意把點的直角坐標化為極坐標,求極角θ時,應注意判斷點P所在的象限,以便正確地求出角θ,當點位于直角坐標軸上時,可以充分利用數形結合的思想直接寫出點的極坐標.
二、考查曲線的參數方程和普通方程的互化
例2 (2008年新課標)已知曲線C1:x=cosθ,
y=sinθ(θ為參數),曲線C2:x=22t-2,
y=22(t為參數).
(1)指出C1,C2各是什么曲線,并說明C1與C2公共點的個數;
(2)若把C1,C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半,分別得到曲線C′1,C′2.寫出C′1,C′2的參數方程.C′1與C′2公共點的個數和C1與C2公共點的個數是否相同?說明你的理由.
解析 (1)C1是圓,C2是直線.C1的普通方程為x2+y2=1,圓心C1(0,0),半徑r=1.C2的普通方程為x-y+2=0.因為圓心C1到直線x-y+2=0的距離為1,所以C2與C1只有一個公共點.
(2)壓縮后的參數方程分別為C′1:x=cosθ,
y=12sinθ(θ為參數); C′2:x=22t-2,
y=24t(t為參數).化為普通方程為:C′1:x2+4y2=1,C′2:y=12x+22,聯立消元得2x2+22x+1=0,其判別式Δ=(22)2-4×2×1=0,故壓縮后的直線C′2與橢圓C′1只有一個公共點,和C1與C2公共點個數相同.
方法總結 將參數方程化為普通方程的關鍵是消去參數:一要熟練掌握常用的消參方法(如整體代換、代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數的)消去法),二要注意參數的取值范圍的一致性.
三、考查點的軌跡的參數方程
例3 (2010年新課標卷)已知直線C1:x=1+tcosα,
y=tsinα(t為參數),C2:x=cosθ
y=sinθ(θ為參數).
(1)當α=π3時,求C1與C2的交點坐標;
(2)過坐標原點O作C1的垂線,垂足為A,P為OA中點,當α變化時,求P點的軌跡的參數方程,并指出它是什么曲線.
解析 (1)當α=π3時,C1的普通方程為y=3(x-1),C2的普通方程為x2+y2=1.聯立方程組,解得C1與C2的交點為(1,0),(12,-32).
(2)C1的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0.A點坐標為sin2α-cosαsinα,故當α變化時,P點軌跡的參數方程為x=12sin2α,
y=-12sinαcosαα為參數,P點軌跡的普通方程為(x-14)2+y2=116,故P點軌跡是圓心為14,0,半徑為14的圓.
方法總結 用參數法求點的軌跡方程,是通過已知條件把所求的點的橫、縱坐標分別表示為某個參數(該參數通常是角度)的函數,但要注意參數的取值范圍.
四、考查曲線參數方程的應用
例4 (2013年浙江)在直角坐標系xOy中,曲線C:x=2cosθ,
y=sinθ(θ為參數),過點P(2,1)的直線與曲線C交于A,B兩點.若PA?PB=83,求AB的值.
解析 由題意,曲線C的直角坐標方程為x2+2y2=2.設過點P(2,1)且傾斜角為α的直線的參數方程為x=2+tcosα,
y=1+tsinα(t為參數),設點A,B對應的參數分別為t1,t2.將直線的參數方程代入x2+2y2=2,化簡得(1+sin2α)t2+4(sinα+cosα)t+4=0,
則Δ=16(2sinαcos2α-sin2α)>0 且t1+t2=4(sinα+cosα)1+sin2α,t1t2=41+sin2α.
由PA?PB=83得t1t2=41+sin2α=83,故sin2α=12,又由Δ>0得0<tanα<2,故 t1+t2=823,t1t2=83,所以AB=t1-t2=(t1+t2)2-4t1t2=
423.
方法總結 1.曲線的參數方程為x=f(θ),
關鍵詞 參數方程 求導法 高階導數 教學思路
中圖分類號:G424 文獻標識碼:A
一元函數的導數是高等數學的主要內容,學生能否掌握一元函數的求導直接影響到后面知識的學習。由參數方程所確定的函數的導數是教學中的一個重點也是難點,特別是由參數方程所確定的函數的高階導數,學生學起來普遍感到困難,做題時,往往容易犯錯。筆者結合自己多年來的教學經驗,談一談對這一部分內容的教學改進。
1 由參數方程所確定的函數的導數
如果參數方程
(1)
確定與間的函數關系,則稱此函數關系所表達的函數為由參數方程(1)所確定的函數。
對于由參數方程所確定的函數一階導數及高階導數的求法,大多數常用的《高等數學》教材①②中采用如下的處理方式:
設參數方程(1)確定函數 = (),且(),()在()上可導,()≠0,函數 = ()具有單調連續反函數 = (),且此反函數能與 = ()構成復合函數,那么由參數方程(1)所確定的函數可以看成由 = (), = ()復合而成的函數。利用復合函數的求導法則與反函數的求導法則,就有
2 原有的教學思路
在以前的教學中,通常采用如下的教學思路:首先講解一階求導公式(2)的推導過程,然后求高階導數時一再強調是對求導,所以求高階導數時,仍需利用復合函數的鏈式求導法則,先對求導再乘以對的導數,即
= ()= ()?
從而推導出公式二階求導公示(3)。按照這樣的思路講解后,發現學生對由參數方程所確定的函數的一階導數掌握得還可以,但求高階導數時總容易出現下列的錯誤解法。
例1 設確定是的函數。求,。
有些學生的解答如下:
很顯然,上述解答中二階導數求解是錯的,正確的解答應該為
通過作業發現,犯這種錯誤的學生還比較多。細究其中的原因發現學生對前面剛學習的復合函數的鏈式求導法則與反函數的求導法則掌握欠佳,這樣直接導致對求導公式(2),(3)的推導不理解。但因為一階導數有簡潔的求導公式(2),學生容易記住。盡管有的學生可能一時還不理解公式(2)的由來。但只要記住了公式,就能求出一階導數。而求二階導數雖然有公式(3),但比較復雜,不易理解。而且學生只是認為求二階導數就是對一階導數再求一次導,卻忽略了對誰求導的問題,從而導致了求二階導數的錯誤做法。
3 新的教學思路
在發現學生在學習過程中存在的問題并對其原因進行分析后,決定改進以前的教學思路,采取如下的教學過程:
第一步,仔細講解一階求導公式(2)的推導過程,并選幾個例題讓學生熟悉并牢記一階求導公式(2);
第二步,引導學生明白既然是的函數,那么它的一階導數也應該仍是的函數。但從前面的例題的結果中發現中的變量仍為,比如例題1中 = 。事實上,一階導數仍是由參數方程所確定的函數,所以,應該表示為
(4)
第三步,既然一階導數是由參數方程(4)所確定的函數,而求二階導數就是一階導數再對求導。故只需要再一次使用由參數方程所確定的函數的一階求導公式(2),便可得到二階求導公式,
= ()=
即 = (5)
公式(5)就是由參數方程所確定的函數的二階求導公式,與其一階求導公式在形式上是一致的。
例2 設確定是的函數。求。
解: = = =
因為仍然是參數方程,故
= = = =
按照這種方式講解以后,學生就很少犯例題1解答中那樣的錯誤。而且這樣講解的好處是不僅使二階導數的求導變得簡單直觀、容易理解, 而且對于更高階導數也是如此。
與二階求導公式類似,我們有
=
例3 在例題2中,求。
解: =
=
=
=
從以上可以看出,在新的教學思路下,由參數方程所確定的函數的高階導數的求法變得很直觀。只要理解和記住了一階求導公式,那么求任意階導數都迎刃而解。
一、 消參
已知參數方程,要求消去參數將其化為普通方程,進而更好地研究參數方程所表示的曲線的幾何性質.這是學習參數方程的最低層次.
例1
已知曲線C的參數方程為C:x=2cos θ,y=2sin θ(0≤θ≤π),求曲線C的長度.
分
析
要求該曲線的長度,需知該曲線的形狀,而該曲線是由參數方程的形式給出的,因此先要消去參數化為普通方程,再看其表示的是何種曲線,進而解決本題.
解
因sin2 θ+cos2θ=1,故曲線C的參數方程可化為x2+y2=4,不難知道該普通方程所表示的圖形是圓.但注意到0≤θ≤π,故該參數方程所表示的曲線是以坐標原點為圓心,2為半徑的半圓(上半圓).所以其長度應是圓周長l=2πR=4π的一半,即曲線C的長度為2π.
點
評
消參是學習參數方程的第一層次,也是最低層次,特別值得注意的是消去參數時一定要注意參數的取值范圍,保持消參后的普通方程與原參數方程的等價性.
二、 用參
已知參數方程,如何靈活、正確地使用好參數,是學習參數方程的第二層次,有一定的難度.
例2
已知直線l的參數方程為l:x=1+t,y=1-t(t為參數),曲線C的參數方程為C:x=2cos θ,y=sin θ(0≤θ≤2π),若直線l與曲線C交于兩點M,N,求線段MN的長度.
分
析
本題若直接消去參數將曲線C與直線l化歸為普通方程,則過程較為繁冗,而且具有一定的難度.其實只要將曲線C化歸為普通方程,再靈活運用直線l的參數方程,即可使本題簡捷巧妙地獲解.
解
將曲線C化為普通方程,可得x2+4y2=4(該曲線為橢圓),直接將直線l的參數方程代入,可得5t2-6t+1=0,解之得t=1或t=15.
當t=1時,x=2,y=0,即得直線l與曲線C的一個交點為M(2,0);當t=15時,x=65,y=45,即得直線l與曲線C的另一個交點為N65,45.所以線段MN的長度|MN|=452+452=452.
點
評
靈活借助直線的參數方程,巧妙將問題進行化歸和轉化,從而使得問題的解答簡捷明快,發揮了參數方程的優勢,體現了參數的功能與優越性.
三、 設參
如何依據題設條件設置參數,巧妙建立參數方程,進而將問題進行合理、有效地化歸與轉化,是學習參數方程的第三層次,也是學好參數方程的最高境界.
圖1
例3
如圖1,給定兩個長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為120°,點C在以O為圓心的圓弧AB上變動,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則x+y的最大值是 .
分
析
不難看出點A,B,C都在半徑為1的圓上,因此解答本題的關鍵是如何選擇變量做為參數.這里可以通過建立以O為原點,OA為x軸的平面直角坐標系,設OC與OA的夾角為θ,借助圓的參數方程構建出關于θ的函數,再求其最大值.
解
建立以O為原點,OA為x軸的平面直角坐標系,設OC與OA的夾角為θ(0<θ<2π3),則A(1,0),B(cos120°,sin120°),C(cos θ,sin θ).
由OC=xOA+yOB,得x+ycos120°=cos θ,ysin 120°=sin θ,即x-12y=cos θ,32y=sin θ,可得y=23sin θ,x=13sin θ+cos θ,所以x+y=3sin θ+cos θ=2sin (θ+π6),注意到0<θ<2π3,故當θ=π3時,x+y取最大值2.
點
評
本題通過建立平面直角坐標系,并選取OC與OA的夾角為參變量,借助圓的參數方程與向量的坐標形式建立目標函數,最終將問題化歸為求給定區間上的三角函數的最大值問題.設置參數起到了簡捷明快地解題的作用.
1. 已知曲線C的參數方程為
x=t-1t,