高中數學的復數公式精品(七篇)

序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇高中數學的復數公式范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

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關鍵詞： 高中數學 構造法 培養 思維能力

高中數學的構造法是運用數學的基本思想，經過認真的觀察、深入的思考，構造出數學的常規模型來解決特殊的數學問題的方法。高中數學的構造法形式多樣，內容十分豐富，它把數學中抽象性問題實質化，把普遍性與現實性的問題特殊化，針對具體的問題的特點而采取相應的解決辦法，即借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。對一些特殊的題目，在解題過程中，用常規思維方法去探求難以切入時，教師要及時啟發學生，展開豐富的聯想，拓展思維變化領域，嘗試運用構造法來解題，從而培養學生的創造意識和創新思維能力。

1.用構造函數法解題培養學生的函數意識

高中函數是高中數學的重要組成部分，函數思想是整個高中數學思想的主線，學生對函數知識比較重視，所以對函數知識成竹在胸。就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程，以及討論參數的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易、化繁為簡的目的。例如在“數列”這一章中，許多地方用到構造函數法，如等差數列的通項公式可構造成一次函數的形式，求和公式可構造成不含常數的二次函數的形式。如一個等差數列的前10項和為100，前100項的和為10，求這個數列的前110項的和，可以用二次函數來解決。等比數列的通項公式及求和公式都可以用指數型函數來處理。又如一些特殊的不等式題都可以構造成特殊的函數來解決。所以，像數列、不等式等一些題目似乎與函數毫不相干，但是根據題目的特點，巧妙地構造出一次函數、二次函數或者指數型函數，利用函數的性質能夠得到簡捷的證明。因此在解題過程中要不斷挖掘學生的潛在意識，使學生的思維不致停滯與解題思路擱淺，在教學過程中真正地啟發學生思維多變，從而達到培養學生發散思維能力的目的。

2.用構造方程法解題培養學生的觀察能力

方程方法是學生解題中最常用的方法，運用方程方法解題有助于培養學生的直觀思維能力。在解決函數問題時常常用構造方程法來解題。因為和函數有必然聯系的是方程，方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0通過方程進行研究，要確定變化過程的某些量，往往要轉化為求出這些量滿足的方程，通過方程（組）來求得這些量。這就是方程的思想。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系。遇到較為復雜的數學題時，要指導學生把難的先簡單化，構造出我們很熟悉的方程。通過數學命題的結構，直觀地觀察出題目中的內在的方程的含義，從而運用方程的思維方法來解題。教師要引導學生在解題的過程中要善于觀察、善于發現，在解題過程中不墨守成規，大膽去探求解題的最佳途徑，要大膽地發揮學生的創新思維，因為創新思維是整個創新活動的關鍵，它的基本特征是獨特的知識結構及活躍的靈感。

3.數學構造法解題常見模式及作用

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一、讓學生主動去觀察與實踐

要想展開初高中數學課堂的教學對接，這需要教師充分發揮學生的教學主體性，課堂上要給學生提供更多觀察與實踐的平臺.教師要善于找到有效的知識教學的切入點，要在新知教學前找到相關的知識鋪墊，并且透過教學引導，讓學生在觀察、推理、驗證、實踐的過程中展開對于新知的有效挖掘.這能夠培養學生的自主學習能力，也能夠讓學生對于學習內容有深刻體會.在教學中，教師應創造條件，讓學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流.

例如，在講“概率”時，教師可以讓學生拋硬幣、轉轉盤、摸球；在講“相似三角形”時，教師可以讓學生去測量學校建筑物、旗桿的高度；在講“統計量”時，教師可以讓學生設計調查項目，做統計報告；在講“圓的有關定理”時，教師可以讓學生查找圓中還有哪些重要定理，組織學生交流探究.通過這樣的過程，讓學生感知數學學習內容是緊密聯系的，很多學過的知識都能為新問題的探究提供基礎.這樣才能充分體現新舊知識間的關聯，并且實現初高中數學課堂對接.

二、技巧性地展開教學知識擴展

僅僅只是利用初中學過的知識顯然是不夠的，教師要能夠技巧性地進行教學知識的擴展，要透過有效的教學引導來引入新的教學內容，并且促進學生對于新知的理解與掌握.在初高中數學對接的教學中，知識間的聯系有很多體現，很多高中數學中內容都是在初中數學的基礎上進行的拓展與延伸.這是一個很好的教學基礎，也給學生的知識接受提供了一個平臺.在引導學生復習與鞏固初中相關內容的同時，教師也要技巧性地進行知識的擴展延伸，要讓學生有效地過渡到新知的學習中，并且讓學生對于新的教學內容有更好的理解與掌握.

例如，在講“無理數”時，教師可以提出問題：大家想想，今后還會出現新的數嗎？由虛數擴充到復數，還有其他的可能嗎？這不僅是一個很好的知識回顧，也能有效地實現教學知識的擴展延伸.實數表示在數軸上的點，是一維數，復數表示平面的點，二維數，還有三維數、四維數……n維數.教師可以適當補充一些介紹，引起學生進一步學習的良好傾向和情感.這個過程也是對初高中知識的適時有效對接.

三、探究性地展開教學素材引申

在初高中數學課堂對接教學中，探究性地展開教學素材的引申也是一種很好的教學策略，這能深化學生對于知識的理解與掌握.教師可以以初中階段學生學到的一些內容為基礎，并且適當進行知識的引申，讓學生感受到知識的變化與拓寬，領會到一些新的知識點，這是一個很好的新知滲透方式.教師也可以對于學生接觸到的一些新知進行適當引申，讓學生站在更高的層面感受知識的應用.這同樣是一種教學需求，不僅能夠拓寬學生的知識范疇，也能夠讓學生對于知識的探究欲望更加濃厚，從而提高教學效果.

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關鍵詞：高中數學；“情境—問題”；設計原則；實際運用；意義

所謂“情境—問題”教學模式就是指通過給學生創設一定的情境來引出所要學習的知識板塊，這一教學模式是學科教學模式的重點，不僅運用在高中數學教學中，實際上運用在學生學習的各個階段和各個學科當中。通過給學生創設情境，來向學生提問，以此來引導學生對該問題來進行思考，不僅能夠調動學生的好奇心，還能夠調動學生的積極性。把這種教學模式運用到高中數學教學當中，可以有效改進教學手段，提高教學效果。為了使“情境—問題”教學模式更好地服務于高中數學教學，我們需要思考一個最基本的問題，那就是該種教學模式的設計原則問題。根據自身的高中數學教學經驗，以及汲取廣大數學教育者的智慧，我們認為“情境—問題”教學模式最起碼需要遵循以下原則。

一、“情境—問題”教學模式的設計原則

（一）簡單可行性

“情境—問題”教學模式想要發揮其在高中數學教學中的作用，首先需要遵循簡單可行性的原則，在簡單可行性的基礎上還要具有可操作性，只有簡單可行和易操作兩者結合起來，才能使“情境—問題”教學模式能夠讓學生直觀地明白，不會加重學生學習的負擔。如何教師創設的情境在導入時就顯得難以理解，那么部分學生從一開始就會喪失興趣，這違背了“情境—問題”教學模式的最終目標。

（二）趣味性

這一教學模式的創設是本著激發學生學習興趣而融入到高中數學教學的過程中，如果教師創設的情境具有趣味性，不僅會引起學生的注意，而且會讓那些昏昏欲睡的學生通過笑來激發大腦，以此來活躍大腦。同時教師創設的情境具有趣味性，不僅能夠在教學過程中拉近與學生的距離，讓自身的授課變得更加具有意義。老師與學生之間營造良好的師生關系，這不僅符合教育的要求，也是教育的目標。當教師與學生變得親近時，學生會突破心理防線，更加積極主動地向老師請教問題，從而提高自身的數學成績，也使得老師的人格魅力在教學過程中展現的淋漓盡致[1]。

（三）生活性

高中數學雖然具有一定的難度，但是學好了卻能給生活帶來很多的便利。數學知識的學習，不僅僅是在課本上，學習的最終目標是回歸到為生活服務。而且高中數學課本上許多知識點的導入節和作業的設置都是從現實生活中取材，這樣使得數學的生活性更加強。據此，教師的“情境—問題”教學模式應該貼近生活，讓學生從課本中學習到的知識能夠運用到實際的生活當中，解決生活中出現的問題，從中體會學好數學的重要性。

二、“情境—問題”教學模式在高中數學教學中的實際運用分析

（一）創設發現情境，還原再現思考

讓學生通過對數學課本中問題的理解，創設出問題所在情境，再引導學生把創設的情境與實際生活情境相聯系，進一步發現問題的內在規律，從而使得學生輕松地解決問題。比如在《正弦定理》一節中,有一題大致是:在一座橋A點處有一批物資,因自然災害原因，急需將A處貨物和人員轉運到與河岸平行的B點和C點,已知貨車速度是45kmh,問:船應該開往B處還是C處?如果教師采用投影的方式，讓學生直觀地看見橋和貨車，學生就會利用公式很快地解答出這道題目。

（二）創設障礙情境，引發認知沖突

在高中數學教學中，教師可以采用相反的認知方式來進行，平常的教學導入教師一般是使用與人類認知相向的即平行的認知方式來進行的，通過相反的方式即創設相反的問題情境來進行教學會給學生留下更深的影響，從而加深學生對該知識板塊的記憶。如在《復數》一節中，已知a+1/a=1，求a+1/a-2=?學生看到這道題時，多數的同學會很快得出-1的結果，但仔細思考，a+1/a怎么會小于零呢?通過創設這樣與認知相反的問題來引起學生認知上的沖突，從而使得學生能夠更加理解所學的知識點[2]。

三、“情境—數學”教學模式的意義

（一）引導學生對數學知識進行重新的認識

上面我們說到“情境—問題”教學模式的創設需要體現生活性，體現數學最終是為了服務生活的潛在目標。通過“情境—問題”教學模式把數學與生活結合起來，能夠引導學生對數學價值進行重新的認識，學生一旦在頭腦中形成了對數學的正確認識，今后在實際的學習中會更加用功，畢竟他們在意識里產生了“數學是個好東西”的想法。

（二）更新高中數學教學手段，激發學生學習興趣

多年的教學經驗和學習讓我明白，中國大多數的高中教師在新知識學習前，都沒有帶領學生進行情境導入或者其他的導入，而是直接地進行新知識的講解。通過“情境—問題”教學模式，不僅更新了數學教學手段，而且趣味的“情境—問題”導入會激發學生學習數學的興趣，“興趣是學生最好的老師”，這樣學生學習數學的積極性也會越來越高[3]。

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【摘要】類比作為一種推理形式，在數學的發展中起著重要作用，可以幫助學生理解、鑒別各種概念、性質、公式、題型等，有利于培養學生良好的思維品質。在數學課堂教學中恰當的運用類比法能有效突破知識難點，順利幫助學生完成知識建構。

【關鍵詞】類比法；課堂教學；高中數學

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】B【文章編號】2095-3089（2012）06-0279-01

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教學中常常會有學生問道如何才能迅速找到解決數學問題的方法？是如何想到用這樣的方法求解？其實，問出這樣的問題恰恰反映學生還欠缺知識的積累，在他們的知識結構中還沒有形成系統認知結構，沒能將以往類似題型與待解的題目聯系起來，從而不能有效將以往學過的知識綜合運用到現實解題中去，也就是缺乏類比數學思想。

1 類比法是重要的思想方法

《普通高中數學課程標準》突出強調高中生的歸納類比等思維能力的培養，提到“高中數學課程應注意提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。人們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程。這些過程是數學思維能力的具體體現，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷。數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用。”

2 類比法的數學理論基礎

在高中數學教學中，運用到類比推理思考問題是很多的。老師在講授數學時不僅在傳授數學理論概念以及具體題目時都要經常給予學生類比法的講授和引導。

所謂類比推理，是指“由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征”的一種推理方法。也就是說，如果為了解決數學問題B，聯想到一個已經會解的與B有某種類似特征的數學問題A，于是，我們據此可以推測A與B的類似點；用會解A問題的方法去解決B問題。這是一種尋求解題思路，猜測和發現問題答案或結論的重要方法。

3 類比法在高中數學中運用

類比法作為新舊知識聯系的紐帶，在高中教學應用效果十分明顯，它可以貫通不同的知識板塊，調動學生已掌握的知識，拓展解題思路。這就需要教師在日常的教學活動中要有意識地將類比思想滲透于教學的各個環節中，幫助學生將所學知識條理化，形成系統的知識網絡。

3.1 類比法在概念教學中的運用。 概念是對象本質屬性的一種抽象，數學概念教學就是通過揭示概念的本質特征，使學生更好地理解新概念的內涵與外延。數學教學中，每當提出新概念、講授新知識時便可以運用類比的方法，使學生較容易的從新舊內容的對比中接受新知識，掌握新概念。如函數極限的概念，初學者會比較陌生很難短時間內了解掌握，但教師可以在利用學生對數列極限概念的熟悉來將二者對比講授。教師在講函數f（x）的極限（x+∞）概念時，可用與數列極限定義相類比的方法來啟迪學生。首先講解二者的相似性，即都是描述自變量無限增大時，函數值無限接近于一個定數的變化狀態。根據這一特點，可類比于數列極限定義來定義函數（x+∞）的極限。

3.2類比法在解題教學中的運用。在教學實踐中，經常會出現“學生對老師的課能聽懂，對書本也看懂，但就是一遇到題目就不會解”。其實，這也反映出學生并沒有從根本上掌握住知識，還做不到融會貫通。此時，如果采取類比法就會使所學知識系統化，問題便可以迎刃而解。如：復數的四則運算加減法一節中，可這樣設問：類比已學過的合并同類項，兩個復數a+bi與c+di的和或差應該是什么？讓學生先討論，通過討論很容易得出復數的加減法法則：“兩個復數相加（減），把實部和虛部分別相加（減），虛部保留虛數單位即可?！比缓笤偕钊胍徊?，復數乘法也可和整式乘法類比進行類似處理。然后“在做根式除法如5+55-2時，分子分母都乘以分母的‘有理化因式3+2’，從而使分母有理化。那么在進行復數除法如3+i2-3i時，如何使分母實數化？在了解了共軛復數概念后，學生知道了一對共軛復數之積是一個實數，學生自然而然想到把分子分母都乘以分母的實數化因式，也就是共軛復數2+3i，就可以使分母實數化了。

4 運用類比法應注意的問題

4.1 講解要少而精。 由于面臨升學壓力，在高中數學教學中許多老師由于求勝心切，搞題海戰術，題目講得多而廣，滿堂灌，但都是為講解而講解，往往收效甚微。雖然類比法對學生新知識和新的解題思路的講解都有著事半功倍的效果，但在數學解題中多用類比法，講解題目的時候要少而精，切忌不可以泛泛的為了讓學生掌握該類方法而大量的運用，因為數學中除了類比外，還有歸納等許多好的方法在有些題目中往往會起到更好的效果，這就需要根據不同情形來傳遞給學生掌握不同的數學方法，培養學生的數學思維能力。

4.2 針對且注意反饋。 類比教學中類比材料要有針對性，要從學生作業或試卷中的常見錯誤及缺漏中取得信息并尋求類比的典型材料。另外，課文的許多有內在聯系，貌似實異，似是而非的知識都特別注意加以類比，尋求并分析各自的特點，掌握各知識在解題中的正確運用，避免張冠李戴，達到教與學的最佳效果。此外，在類比教學中還應充分利用反饋效應。運用反饋效應要注意反饋的完整性，及時性和邊疆性。教師要多了解學生，多方面掌握信息，發現問題，解決問題。

4.3 掌握多種類比法。 類比法在高中數學教學中比較常見，其本身又可以根據不同標準進一步細分為：因果類比法、結構類比法、簡化類比法和降元類比法等等。教師在具體的教學實踐中可以根據所要傳遞的知識特點采用不同的類比方法。

參考文獻

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關鍵詞：高中數學課堂；多媒體；數學實驗；整合

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2013）01-135-01

在現在全面推行新課程改革的時代背景下，現代化信息技術與新課程的整合是新課程標準的基本理念之一。在數學課程改革中，《普通高中數學課程標準》就提倡將數學課程內容與信息技術進行有機整合?，F代信息技術的廣泛應用在數學課程內容、數學教學、數學學習方式等方面都產生深刻的影響。數學與信息技術的有機結合將是一個必然的趨勢。下面結合本人這些年的中學數學教學實踐，就數學與信息技術的有機結合，談談一些的想法和體會。

數學是一門以抽象性和嚴謹性而著稱的學科，在鍛煉學習者思維中起到了顯著的效果。數學家歐拉有一句話值得我們深思：數學這門學科需要觀察，也需要試驗。的確，在當今注重創新的氛圍中，我們的教育更需要數學實驗和猜想。然而，數學當中的計算與邏輯推理很枯燥，這就使許多學習者望而卻步。數學有它自身的優點與不足，如果借助信息技術開展數學實驗，展示抽象概念，演繹發展過程，引導學習者一步步探索更廣闊的知識領域，既可以有效克服傳統教學不夠鮮活的氣息，又避免了教師一言堂的弊端。

數學作為中學的主要學科之一，其地位在高中階段是無法比擬的。然而，數學課中的教學手段很長時期都是沿用“粉筆加黑板”這一單調模式。因為學科自身的特點，確實沒有某些學科生動、形象、具體。很多學習者反應課堂枯燥無味，提不起學習的興趣?，F代信息技術的應用則給數學教學改革帶來一片生機，這值得全體數學教師進行積極推廣。

高中數學學習是一個過渡的關鍵期，是初中數學的提升和深化。經過三年的初中數學學習，學生雖然養成了一定的數學思維，卻只是初具雛形。但是，高中數學內容邏輯嚴密、思維嚴謹、語言抽象、知識的系統性和連貫性很強。高一年要學習集合、函數、數列、向量等，高二高三年要學習不等式、解析幾何、立體幾何、概率、極限、導數與復數等，這些知識內容理論成分很多，不管是知識的抽象性、論證的邏輯性、還是方法的靈活性，與初中相比其對數學思維的要求上了更高的臺階。這也要求高中數學教師要擺脫“粉筆加黑板”的傳統教學模式，結合信息技術的應用解決高中數學知識量大、理論性強、邏輯性高等問題。以下幾點，是我在高中數學教學實踐中運用信息技術所總結的一些方法：

1、利用多媒體輔助課堂板書，擴大課堂信息容量

信息技術為數學課堂教學提供了更形象、更豐富的表達方式。相對于單一的板書設計，課堂上結合多媒體課件的使用，可以將教學上那些用板書及語言難以表達清楚的內容用更為形象的方式展示給學生。因為多媒體課件其優勢在于可以將文字、圖片、動畫、音頻和視頻等各種教學資源整合在一起，能引導學生更直觀地感受所學的知識，而且通過多媒體課件還能引入課外學習資源，引導學生入情入境地體驗、親歷學習過程。信息技術與板書的結合使用，可以起到事半功倍的教學效果。

2、利用多媒體進行動畫模擬，豐富課堂教學效果

采用多媒體技術中圖形的移動、定格、閃爍、同步解說、色彩變化等手段表達教學內容。例如：在講述立體幾何中的對各種柱體、錐體、球體認識和面積、體積計算公式推出時，就可以利用空間圖形的分、合、轉、并、移、裁、展等多種形式的動畫，再結合有關必要的解說和優美音樂，使學生能身臨其境，產生立體效應，同時通過啟發性提問，引導學生積極開展思維，自我挖掘各圖形間的內在聯系以及有關計算公式的推出。動畫模擬不但能徹底改變傳統教學中的憑空想象、似有非有、難以理解之苦，同時還能充分激發學生學習能動主觀性，化被動為主動，產生特有教學效果。

3、利用多媒體演示數學實驗，促進課堂知識理解

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一、指導學習方法

（―）指導學生建立起抽象思維型的高中數學意識

我們要讓學生明白高中數學與初中數學特點的變化，要把在初中時主要依賴形象思維的數學思維轉化為抽象的辯證思維，并建立主體的知識結構網絡。

1.高中數學語言表達變得抽象化。比如集合、映射等概念一般學生就難以理解，覺得離生活很遠，單靠形象思維就比較“玄”。這是因為初中數學表達的語言方式形象而通俗，高中數學則使用抽象的集合語言、邏輯運算語言、函數語言及空間立體幾何等。

2.高中數學思維形式變得理性化。不少初中數學老師把各種題建立了統一的思維模式教給學生，如解方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等，分別確定了各自的思維套路，具有很強的經驗性。高中數學則不然，所以學生學習時一開始容易導致成績下降。老師需要引導新生進行思維轉型。

3.高中數學知識內容擴大化。高中數學知識內容的“量”急劇增加，需要做好課前預習和課后復習，牢固掌握大量知識；需要理解理清新舊知識的內在聯系，讓新知識順利地與原有知識結構相融合；需要學會對知識結構進行梳理，形成知識的板塊結構，進而不斷進行總結、歸類，建立以主體知識為核心的知識結構網絡。

（二）培養高中數學學習與解題的良好習慣

1.培養善于分析總結和提升數學技能的習慣。高中數學學習要以提高學生的學習能力和學習效率為重點，我們不能讓學生死板地讀書做題，而是要指導學生學會分析每一道題的解題思路，解題后又善于總結解題的思路與方法。要多訓練學生自身的運算能力和化簡技能，引導學生不要過于依賴計算器，并努力提升數學技能。

2.培養學生建模的能力和習慣。近年高考經常涉及數列模型、函數模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等數學模型。由此，我們要著力培養學生建模的能力和習慣，在學生能夠明白題意的前提下，引導學生找出題目中每個量的特點，分析出已知量和未知量，考慮二者之間的數量關系，最后將文字語言轉換為圖形語言或者數字語言，建立起相應的數學模型。然后通過這一模型求解并得出結論，并且自覺地將得到的結論進行還原驗證，并由此形成相應的解題習慣。例如，求解應用題就需要建模，一是讀題，要讀懂和深刻理解，譯為數學語言，找出主要關系；二是建模，把主要關系近似化、形式化，抽象成數學問題；三是求解：化歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解；四是評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以糾正，最后將結果應用于現實，作出解釋或驗證。

3.指導掌握分類討論的習慣。學生在解題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是使用分類討論法。分類討論法在高考試題中占有突出的位置。例如，問題涉及的數學概念要進行分類定義，或數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出，解含有參數的題目時必須根據參數的不同取值范圍進行分類討論。這樣的題都屬于分類討論性質的題。我們要指導學生養成這樣的習慣，即：確定分類對象，統一分類標準，分出的類不遺漏也不重復，分類互斥，有主有次，不越級討論，最后進行歸納小結，得出結論。

二、指導解題方法

（一）教給一些常用的解題方法

1.高中數學常用的解題方法和技巧有配方法、換元法、待定系數法、定義法、數學歸納法、參數法、反證法，等等。例如，配方法主要適用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。換元法則可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，其關鍵是構造元和設元，使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元的方法有局部換元、三角換元、均值換元等。三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯系進行換元。待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等。比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數，并把求出的系數代入已經明確的方程式，得到所求圓錐曲線的方程。教給方法后，還要教給具體的步驟。如使用待定系數法實施的具體步驟是：第一步，用反設否定結論，作出與求證結論相反的假設；第二步，用歸謬推導出矛盾，將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，用結論得出原命題結論的成立，即說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

（二）教給一些專門題型的解題方法

如與解析幾何有關的參數取值范圍的問題，在構造不等式時，就需要利用曲線方程中變量的范圍構造不等式或利用判別式構造不等式、利用點與圓錐曲線的位置關系構造不等式、利用三角函數的有界性構造不等式、利用離心率構造不等式，等等。

三、指導應試方法

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1. 高中學生數學思維障礙的形成原因

一方面，如果在教學過程中，教師不顧學生的實際情況（即基礎）或不能覺察到學生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學，則到學生自己去解決問題時往往會感到無所適從；另一方面，當新的知識與學生原有的知識結構不相符時或者新舊知識中間缺乏必要的“媒介點”時，這些新知識就會被排斥或經“校正”后吸收。因此，如果教師的教學脫離學生的實際；如果學生在學習高中數學過程中，其新舊數學知識不能順利“交接”，那么這時就勢必會造成學生對所學知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就會產生思維障礙，影響學生解題能力的提高。

2. 高中數學思維障礙的具體表現

由于高中數學思維障礙產生的原因不盡相同，作為主體的學生的思維習慣、方法也都有所區別，所以，高中數學思維障礙的表現各異，具體的可以概括為：

（1）數學思維的膚淺性：由于學生在學習數學的過程中，對一些數學概念或數學原理的發生、發展過程沒有深刻的去理解，一般的學生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握事物的本質。由此而產生的后果：1〉學生在分析和解決數學問題時，往往只順著事物的發展過程去思考問題，注重由因到果的思維習慣，不注重變換思維的方式，缺乏沿著多方面去探索解決問題的途徑和方法。

（2）數學思維的差異性：由于每個學生的數學基礎不盡相同，其思維方式也各有特點，因此不同的學生對于同一數學問題的認識、感受也不會完全相同，從而導致學生對數學知識理解的偏頗。這樣，學生在解決數學問題時，一方面不大注意挖掘所研究問題中的隱含條件，抓不住問題中的確定條件，影響問題的解決。

（3）數學思維定勢的消極性：由于高中學生已經有相當豐富的解題經驗，因此，有些學生往往對自己的某些想法深信不疑，很難使其放棄一些陳舊的解題經驗，思維陷入僵化狀態，不能根據新的問題的特點作出靈活的反應，常常阻抑更合理有效的思維甚至造成歪曲的認識。如：z∈c，則復數方程Z-2i+Z+2i=4 所表示的軌跡是什么？可能會有不少學生不假思索的回答是橢圓，理由是根據橢圓的定義。又如剛學立體幾何時，一提到兩直線垂直，學生馬上意識到這兩直線必相交，從而造成錯誤的認識。

由此可見，學生數學思維障礙的形成，不僅不利于學生數學思維的進一步發展，而且也不利于學生解決數學問題能力的提高。所以，在平時的數學教學中注重突破學生的數學思維障礙就顯得尤為重要。

3. 高中學生數學思維障礙的突破

（1）在高中數學起始教學中，教師必須著重了解和掌握學生的基礎知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學生認知發展的階段性特點，照顧到學生認知水平的個性差異，強調學生的主體意識，發展學生的主動精神，培養學生良好的意志品質；同時要培養學生學習數學的興趣。興趣是最好的老師，學生對數學學習有了興趣，才能產生數學思維的興奮灶，也就是更大程度地預防學生思維障礙的產生。教師可以幫助學生進一步明確學習的目的性，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學生學好高中數學的信心。

（2）重視數學思想方法的教學，指導學生提高數學意識。數學意識是學生在解決數學問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎知識的具體應用，也不是對應用能力的評價，數學意識是指學生在面對數學問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學生面對數學問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數學意識落后的表現。數學教學中，在強調基礎知識的準確性、規范性、熟練程度的同時，我們應該加強數學意識教學，指導學生以意識帶動雙基，將數學意識滲透到具體問題之中。如：設x2+y2=25，求u= 8y-6x+50+8y+6x+50的取值范圍。若采用常規的解題思路，μ的取值范圍不大容易求，但適當對u進行變形：u= （x-3）2+（y+4）2+（x+3）2+（y+4）2轉而構造幾何圖形容易求得u∈[6，610]，這里對u的適當變形實際上是數學的轉換意識在起作用。因此，在數學教學中只有加強數學意識的教學，如“因果轉化意識”“類比轉化意識”等的教學，才能使學生面對數學問題得心應手、從容作答。所以，提高學生的數學意識是突破學生數學思維障礙的一個重要環節。

（3）誘導學生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。在高中數學教學中，我們不僅僅是傳授數學知識，培養學生的思維能力也應是我們的教學活動中相當重要的一部分。而誘導學生暴露其原有的思維框架，包括結論、例證、推論等對于突破學生的數學思維障礙會起到極其重要的作用。

例如：在學習了“函數的奇偶性”后，學生在判斷函數的奇偶性時常忽視定義域問題，為此我們可設計如下問題：判斷函數 f（x）=2x-（12）x在區間[2 （3-a）6，2a]上的奇偶性。不少學生由f（x）=f（x）立即得到f（x）為奇函數。教師設問：①區間[2 （3-a）6，2a]有什么意義？②y=x2一定是偶函數嗎？通過對這兩個問題的思考學生意識到函數 f（x）=2x-（12）x 只有在a=2或a=1即定義域關于原點對稱時才是奇函數。

使學生暴露觀點的方法很多。例如，教師可以與學生談心的方法，可以用精心設計的診斷性題目，事先了解學生可能產生的錯誤想法，要運用延遲評價的原則，即待所有學生的觀點充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解決不徹底。有時也可以設置疑難，展開討論，疑難問題引人深思，選擇學生不易理解的概念，不能正確運用的知識或容易混淆的問題讓學生討論，從錯誤中引出正確的結論，這樣學生的印象特別深刻。而且通過暴露學生的思維過程，能消除消極的思維定勢在解題中的影響。當然，為了消除學生在思維活動中只會“按部就班”的傾向，在教學中還應鼓勵學生進行求異思維活動，培養學生善于思考、獨立思考的方法，不滿足于用常規方法取得正確答案，而是多嘗試、探索最簡單、最好的方法解決問題的習慣，發展思維的創造性也是突破學生思維障礙的一條有效途徑。