函數最值的應用精品(七篇)

序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇函數最值的應用范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

篇(1)

關鍵詞：最大值 最小值 最值 邊際

中圖分類號:F224 文獻標識碼:A

文章編號:1004-4914（2011）12-082-02

在工農業生產、科學技術研究、經營管理中，經常要遇到在一定條件下，怎樣用料最省、產量最多、效率最高、成本最低等問題，這些問題在數學上有時可歸結為求某一函數的最大值或最小值的問題。隨著市場經濟的不斷發展，利用數學知識解決經濟問題顯得越來越重要，運用微分中的最值可以對經濟活動中的實際問題進行最優化分析，從而為企業經營者的科學決策提供依據。

一、最值的概念

1.最大值。設函數f（x）在區間[a,b]上連續，x0為區間[a,b]上某一點。當對于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最大值，稱點x0為f（x）在[a,b]上的最大值點。

2.最小值。設函數f（x）在區間[a,b]上連續，x0為區間[a,b]上某一點。當對于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最小值，稱點x0為f（x）在[a,b]上的最小值點。

最大值和最小值統稱為最值。

二、最值在經濟中的應用

最優化問題是經濟管理活動的核心，各種最優化問題也是微積分中最關心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數的最值在經濟效益最優化方面的若干應用。

1.最大利潤問題。

例1：某工廠在一個月生產某產品Q件時, 總成本為C（Q）=5Q+200（萬元），得到的收益為R（Q）=10Q-0.01Q2（萬元），問一個月生產多少產品時, 所獲利潤最大?

解：由題設，知利潤為

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

顯然最大利潤一定在（0，+∞）內取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（萬元）為L的一個極大值。

從而一個月生產250件產品時，可取得最大利潤425萬元。

2.最大收益問題。

例2：某商品的需求量Q是價格p的函數Q=Q（p）=75-p2，問p為何值時，總收益最大？

解：總收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

從而R（5）=250，為收益R（p）的極大值。

即當價格為5時，有最大收益250。

3．經濟批量問題。

例3：某商場每年銷售某商品a件，分為x批采購進貨，已知每批采購費用為b元，而未售商品的庫存費用為c元/年?件。設銷售商品是均勻的，問分多少批進貨時，才能使以上兩種費用的總和為最?。?a,b,c為常數，且a,b,c>0）。

解：顯然，采購進貨的費用W1（x）bx，

兩次求導：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 則Q=3

當Q=3時，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而邊際成本函數C'（Q）=15-12Q+3Q2

當Q=3時，C'（Q）=15-36+27=6

可見最小平均成本與邊際成本相等。

邊際的意義是：當產量在Q的基礎上再增加一個單位時，成本C（Q）的增量。

三、總結

綜上所述，對經營者來說，導數在經濟學中的應用頗為廣泛，而且在日常生活中、生產和科研中，常常會遇到最值的問題，不僅而已，從上面的例子可以看出，對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具，不但可以給企業經營者提供精確的數值，而且在分析的過程中，還可以給企業經營者提供新的思路和視角，這也是數學應用性的具體體現。因此，作為一個合格的企業經營者，應該掌握相應的數學分析方法，從而為的經營決策提供可靠依據。

參考文獻：

1.陸慶平.以企業價值最大化為導向的企業績效評價體系――基于利益相關者理論[J].會計研究,2006(3)

2.高哲.淺談微積分在經濟中的應用[J].中國科技博覽,2009（7）

3.李春萍.導數與積分在經濟分析中的應用[J].商業視角，2007（5）

4.向菊敏.微積分在經濟分析活動中的應用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等數學在經濟分析中的運用[J].棗莊學院學報，2007（10）

6.譚瑞林，劉月芬.微積分在經濟分析中的應用淺析[J].商場現代化,2008（4）

7.顧霞芳.淺談導數在經濟中的應用[J].職業圈，2007（4）

篇(2)

關鍵詞：最值問題； 數學教學； 舉例

一、靈活應用不等式轉換

例1.設 且 ，求 的最大值。

分析：注意到 不是定值，而條件 中無根號，因而想到去掉根號湊成 的形式。

一般的：當 且 ，則 的最大值是 （其中 都是常數）

此例可見靈活應用不等式并不是無目標的猜想，其要求我們不墨守陳規，化生疏為熟悉，在推理過程中做到嚴密正確。

二、合理使用配方法

例2.求函數 的最值。

在應用配方法前，注意隱含條件的思維方法，不可盲目使用導致最值的擴大或縮小，注意條件的嚴密性。

三、充分利用數形結合

例3.求函數 的最小值

① 選取坐標的科學嚴謹性

② 轉化數學思維的靈活性

四、謹慎使用判別式法

例4.求函數 的最值

① 用判別式法求函數最值時，解 0中，其“>”與“=”有一個成立即可。故寫出最值時，務必考慮到它的“極端”情況“=”能否成立。

② 由于函數到方程，中間將有個變形（不一定是恒等變形）過程，將原函數轉化為關于 的二次方程，在解關于 的不等式。

③ 若忽視隱含條件就容易出錯，故務必考慮到其函數本身的取值，應謹慎使用。

五、合理使用換元法

當已知函數的次數較高，則想方設法降次是必須解決的任務。所以應用換元將是一個有力的工具。

例5.求函數 的最值。

六、奇妙的增量代換法

例6.求函數 的最大值和最小值。

解：函數 的定義域是 。所以 是4與一個增量之和，且這個增量在 內取值。

當 時， 取得最大值2；

當 時， 其的最小值1。

利用增量代換法取得來解決和處理最值問題，是中學數學中的一種重要方法，可表現出奇妙的作用。

七、利用導數求最值

例7.一個容器，下半部是圓柱上半部是半球，且圓柱底面半徑和半球的半徑相等；設容器的表面積為s，問圓柱的高與底面半徑之比為何值時，容器的容量最大？

解：設圓柱的高為h。底面半徑為R，則

（1）

容器的容積 （2）

把（1）代入（2），整理得

令 ，即 解得 （舍去負值）。

經檢驗，這個R值能使V有最大值，代入（1）得

故當 時，容器容積最大。

八、應用函數求最值

例8.已知 所在平面內有一條直線 過其直角頂尖 ，且 在直線的同一側，求 以 為軸旋轉所得旋轉體的最大體積。

解：所得旋轉體的體積等于一個圓臺的體積減去一個小圓錐和一個大圓錐的體積，分別通過A.B做 的垂線，垂足為D.E，設圓臺上、下底面半徑分別為 ，大、小圓錐的高分別為 ，設 ，則

故所得旋轉體的體積為

上兩例，不管用導數還是有界函數求最值，都選擇了某一幾何量作為自變量，建立函數解析式。這是求最值問題的一種有效方法。

九、以市場經濟為背景

例9.某旅行社在某地組織旅游團到北京參觀，共需6天，每人往返機票、食宿費、參觀門票等費用共需3200元，如果每人收費標準為4600元。則只有20人參加旅游團；高于4600元時，沒有人參加，如果每人收費標準從4600元降低100元，參加旅游團人數就增加10人；試問：每人收費標準定為多少時，該旅行社所獲得利潤最大？

（職高教材基礎版第一冊P137第32題）

解這類營銷應用問題需理解有關名詞的含義，如“利潤=銷售價-成本價”，掌握有關函數及計算方法：

解：設每人收費標準為 元 ，則收費標準下降了4600- 元，旅游團人數增加了 人，根據題意得利潤 （元）與收費標準 （元）的函數關系式：

整理得：

當 =4000元時， =6400元

答：當收費標準定為4000元時，該旅行社所獲得利潤最大，最大利潤為6400元。

綜上各例，無論用哪種方法求最值，奇妙的規律性是解決最值問題的關鍵；我們在教學中應積極培養學生的洞察能力來處理不同題型，才能進一步提高數學教學的質量。

參考文獻

[1] 蘇居寧.《立體幾何中的最值問題》《中學數學研究》1996-8

[2] 邱志明.《關于函數最值問題的教學》.《中學數學研究》2003-10

[3] 邱潤發.《用函數解決市場經濟的最值問題》.《數學通訊》2005-2

篇(3)

關鍵詞： 最值；綜合性；靈活性；發散思維

中圖分類號： G427 文獻標識碼： A 文章編號： 1992-7711（2013）22-091-1

函數最值定義：函數最值：一般地，設函數的定義域為A.若存在x0∈A，使得對于任意x∈A，有f（x0）≥f（x）恒成立，則稱f（x0）為函數f（x）的最大值，記為f（x）max=f（x0）；若存在x0∈A，使得對于任意x∈A，有f（x0）≤f（x）恒成立，則稱f（x0）為函數f（x）的最小值，記為f（x）min=f（x0）.

分式三角函數最值求解方法很多，現主要歸納為以下幾點：1.拆項觀察；2.反解法；3.數形結合法；4.應用函數單調性求解法.如何求函數y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

一、拆項觀察法

分析 可將原式化為整式和分式兩部分，其中分式部分：分子是常數、分母是關于變量sinx的多項式.

解 在原函數僅含有變量sinx，于是原函數可進行如下整理：

y= sinx-2 2sinx+3 = 1 2 （2sinx+3）- 7 2 2sinx+3 = 1 2 - 7 4sinx+6 .

又由-1≤sinx≤1知2≤4sinx+6≤10，

于是有- 7 2 ≤- 7 4sinx+6 ≤- 7 10 ，

所以 -3≤y≤- 1 5 .

因此 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

二、反解法（三角函數有界性）

對于求形如y= ct+d at+b （其中t為三角函數）分式最值問題，可用反解法，即把原分式y= ct+d at+b 整理成t=- by-d ay-c ，然后由t的有界性得出y的取值范圍.

例2 求y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

解 用反解法，由y= sinx-2 2sinx+3 得y?（2sinx+3）=sinx-2，

可整理為 sinx= -3y-2 2y-1 ，

由|sinx|≤1知 -3y-2 2y-1 ≤1，

易解得 -3≤y≤- 1 5 .所以 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

三、數形結合法（斜率與兩點之間的距離有兩種情形）

數形結合法即將代數問題轉化為幾何問題來處理.根據所給表達式的特點，在坐標平面上考慮各種曲線間的關系，以獲得該三角函數問題的最值.

例3 y= sinx-3 cosx-2 的最值.

解 設P（cosx，sinx），Q（2，3）即y是直線PQ的斜率的取值范圍點P的軌跡是圓a2+b2=1，即求圓上點與Q點連線斜率最值.由圖知當PQ與圓相切時，斜率取得最值.

設PQ的方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0.

由相切條件得原點到直線的距離等于1得

|3-2k| 1+k2 =1，即k= 6±2 3 3 .

因此

ymin= 6-2 3 3 ，ymax= 6+2 3 3 .

注 此題中點P的軌跡，若是直線又如何呢？例8將為你介紹.

四、應用函數單調性求解法

例4 求f（x）= x+sinx 2+cosx （0≤x≤ π 2 ）的最值.

分析 可先證明f（x）在[0， π 2 ]上是單調增函數.

解 設x1，x2∈[0， π 2 ]，且x1

f（x1）-f（x2）= x1+sinx1 2+cosx1 - x2+sinx2 2+cosx2 =

2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+x1cosx2-x2cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

< 2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+（x1-x2）cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

所以

f（x1）

因此f（x）min=f（0）=0，f（x）max=f（ π 2 ）= π+2 4 .

注 此種解法僅實用于函數在給定區間是單調函數.

以上探討了多種求分式三角函數最值的方法，由于三角函數最值問題題目類型的多樣性，在求此類問題時，我們會發現其中許多題型的解法并不唯一，一題可能有多種方法求解.諸多方法也并非是獨立的，解一道題目可能會應用多種方法，才能最終解出最值.并且在求解的過程中，我們要學會進行轉化的思想.也許所給題型不是以上列舉的類型，但是我們需要判斷是否能夠轉化為已知類型的問題來求解，這就需要我們有一定的轉化變換技巧和思想.因此，在解此類問題時不僅要靈活運用三角變換的方法和技巧，還要充分注意代數知識和幾何知識的運用，以提高解決此類問題的能力.

[參考文獻]

篇(4)

一、求曲線上某點的切線方程

求切線方程是解決曲線切線問題的基礎，因此我們必須準確理解導數的幾何意義，并牢固掌握求導法則.求曲線上某點的切線方程又可以分兩類：⑴此點為切點，這就意味著不用再求出切點，可以直接求切線方程了；⑵求過某點的切線方程，點在曲線上，這類問題就要求我們注意了，此點是否為切點還要我們驗證才知道，如果我們一開始就認定此點為切點，那就很容易出錯了.此點為切點的題目我們見得多了，但也很可能出現在曲線上的點卻不是切點，這就要求我們先判斷再解題了.

例1.曲線上點，求過點的切線方程.

分析：點在已知曲線上，本題要求的是過點的切線方程，但點不一定是切點，故我們解題時要先求出切點坐標.

解設切點坐標為，則 ，

則處的切線方程是 .

該切線過點，

化簡得：，

解得： 或，

過點的切線的斜率是 或 ，

過點的切線方程為：

或.

即所求的切線方程是： 或 .

評注：我們做這類題型時往往會把點作為唯一一個切點，這樣的話我們就只求出點處的切線，而漏解另外一條切線.從本題求解過程我們不難悟出求切點坐標的方法，這很重要，要記住.

應用導數求切線方程的一般步驟：

（1）設切點.

（2）求.

（3）寫出切線方程：.

2.在解析幾何中求最值

在解析幾何中的最值問題一般是求兩條曲線之間的最短距離，在高考中常出現的類型是求一條拋物線（或雙曲線）到一條直線的最短距離，這類題的解題步驟一般為：先求出與直線平行的拋物線（或雙曲線）的切線的切點坐標，然后由點到線的距離公式得出所求的距離.

例2 求拋物線的點到直線的最短距離.

解設與直線平行的拋物線的切線的切點坐標為，

則，

， 因此，切點坐標為，

切點到直線的距離為，且 .

所以拋物線上點到直線的最短距離為.

評注：求拋物線上的點到直線的最短距離，應先求出與直線平行的拋物線的切線的切點坐標，再求出該切點到直線的距離就是所求的最短距離了.

3.求函數的解析式

例3. 已知函數的圖像過點，且不等式對于一切實數都成立，求的解析式.

分析：由所給不等式的幾何意義知，拋物線夾在直線與拋物線之間，而直線與拋物線只有唯一公共點，故知直線與拋物線、相切于同一個點，此為解題的關鍵.

解的圖像過點，

①

，則

②

由①、②解得：，

則有.

則有.

設、、，

我們可以知道的圖像夾在與之間，又與的圖像有且只有一個公共點，故直線與拋物線、切于同一點.

而，即

，，.

所以所求函數為：.

評注：函數的解析式往往要結合該函數的圖像特點來解決，而應用導數來解函數的解析式也可以使問題簡化.上面的例題用函數的圖像特點可以解出、的值，而要解出值就要對所求函數進行求導，再把切點的坐標代入就可以求出值了，進而可以求出函數的解析式.

4.解與函數圖像特征有關的問題

例4.設函數的圖像為，函數的圖像為，已知在與的一個交點的切線相互垂直.

（1）求，之間的關系；

（2）若，，求的最大值.

解（1）對于：，有

對于：，有

設與的一個交點為.

由題意知過交點的兩條切線互相垂直，

，

即 ①

又點在與上，故有

，

所以②

由①、②消去，可得

（2）由于，且

當且僅當時取等號，故的最大值為.

評注：本題以函數圖像為背景考查導數的幾何意義和語言轉化能力，而應用導數的幾何意義是解決這類問題的關鍵.

不管是求函數的解析式還是解與函數圖像特征有關的問題，這往往要觀察函數圖像的特征，結合導數的幾何意義解題，這樣會使解題過程變得簡便.

5.求含參數的函數的單調性

有時在求函數的單調性時，常常搭配幾個參數來增加題目的難度，像這類型的題通常需要對參數經分類討論求函數的單調性.

例5.已知，求函數的單調區間.

解

（1）當時

若，則；若，則 ，

所以當時，函數在區間內為減函數，

函數在區間內為增函數.

（2）當時

由，解得或，

由，解得 ，

所以，當時，函數在區間內為增函數，在區間內為減函數.

（3）當時

由，解得

由，解得或，

所以當時，函數在區間內為增函數，

函數在區間內為減函數.

評注：不管是求不含參數的函數的單調性還是求含參數的單調性，都要先對所求函數進行求導，通過對所求導數的大于零（或小于零）的值來判斷所求函數的單調性，而在求含參數的函數的單調性時就要對參數進行分類討論后再判斷.

6. 求函數極值

例6. 求函數的極值.

解，

令，解得，，，

當變化時，，的變化情況如下表:

所以，當時，有極大值，，

當時，有極小值，.

評注：求函數的最值重要的是先求出的值，然后根據在定義域中的變化，、隨著的變化情況再判斷函數的極大值和極小值.

7.求函數最值

例3.4求函數在區間上的最大值與最小值.

解，

令，有 解得

，，

當變化時，，的變化情況如下表：

從上表可知，最大值是17，最小值是8.

評注：函數的最值要求與函數的極值區分，函數的最值不一定是極值，函數的極值也不一定是最值，求函數的最值要求在極值和端點中比較，最大的值才是最大值，而最小的值就是最小值.函數的最值是在求出函數極值的基礎上再與函數的端點值的比較后再得出所求的最大值（或最小值）.

8.求數列的最大（小）項

用導數求函數的最值應先求出函數極值再判斷，而求數列最大（小）項，我們可以作輔助函數，通過判斷輔助函數的單調性再得出數列的最大（小）項.

例8.已知數列｛｝是通項是，求數列｛｝的最大項.

解作輔助函數 ，

則

令解得：

令解得： 或

在區間上是增函數，在區間上是減函數.

在區間內，

當時，函數取到最大值.

對，

，

即數列｛｝的最大項是3，且.

篇(5)

三角函數的最值問題的類型很多，其常見類型有以下幾種.

一、形如y=a+bsinx（或cosx，x∈R）的最值

方法：利用正、余弦函數的有界性解決.

例1：求y=+cos4x的最值.

解：y=+cos4x

當cos4x=1即x=（k∈z）時，有y=1；

當cos4x=-1即x=+（k∈z）時，有y=.

二、形如y=asinx+bcosx（一次齊次）的最值

方法：用輔助角公式y=sin（x+θ）化為形如y=a+bsinx來解決.

例2：求函數y=sinx+cosx+2的最大值和最小值.

解：y=sinx+cosx+2=sin（x+）+2

當sin（x+）=1即x=2kπ+（k∈z）時，有y=3；

當sin（x+）=-1即x=2kπ-（k∈z）時，有y=1.

三、形如y=asinx+bsinxcosx+ccosx（二次齊次）的最值

方法：①形式為次數相同角相同，次數不同角不同；

②二次的用二倍角公式降冪；

③用輔助角公式化為形如y=a+bsinx來解決；

③若含有常數項，方法同上.

例3：求函數y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值、最大值.

解：y=sinx+2sinxcosx+3cosx

=sin2x+2cosx+1

=sin2x+cos2x+2

=sin（2x+）+2

當sin（2x+）=-1時，有y=2-.

當sin（2x+）=1時，有y=2+.

四、形如y=asinx+bsinx+c（x∈z）的最值

方法：①形式為次數相同角度不同或次數不同而角度相同.

②借助于二次函數在閉區間上的值域解決.

例4：如果|x|≤，求函數f（x）=cosx+sinx的最大值、最小值.

解：f（x）=cosx+sinx=-sinx+sinx+1=-（sinx-）+

設sinx=t得y=-（t-）+

由題設|x|≤，

-≤sinx≤，-≤t≤.

因為f（x）在[-，]是增函數，在[，]上是減函數，

當x=-時，f（x）=；

當x=時，f（x）=.

變式1：求函數y=cos2x-cosx+2的最小值；

變式2：求函數y=cosx-2acosx-a的最大值；

變式3：sinx+cosx+a=0有實數解，求a的取值范圍.

五、形如求y=x+或y=sinx-cosx+sinxcosx的最值

方法：用三角代換求某些代數函數的最值.

例5：求函數y=x+的最大值、最小值.

解：x∈R

可設x=sinθ（-≤θ≤）

則有y=sinθ+|cosθ|

-≤θ≤

cosθ≥0

y=sinθ+cosθ=sin（θ+）

-≤θ≤

-≤θ≤≤π

-1≤sin（θ+）≤

當θ=-，即x=-1，y=-1；

當θ=-，即x=，y=.

例6：求y=sinx-cos+sinx+cosx的最大值和最小值.

解：設t=sinx-cosx=sin（x-），則-≤t≤，且兩邊平方可得sinxcos=.

所以y=t+=-（t-1）+1，

篇(6)

例1.已知曲線y=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。

分析：根據導數的幾何意義求解。

解：y′=3x2-6x，當x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3=-3(x-1)，即為：y=-3x.

1、方法提升：函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用導數判斷函數的單調性

例2．求函數y=x3-3x2-1的單調區間。

分析：求出導數y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。

由y′<0得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。

故所求單調增區間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調減區間為(0，2)。

2、方法提升：利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導數f′(x)；（3）在函數f(x)的定義域內解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調區間.若在函數式中含字母系數，往往要分類討論。

三、用導數求函數的極值

例3．求函數f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.

當x變化時，y′、y的變化情況如下：

當x=－2時，y有極大值f(-2)=－（28/3），當x=2時，y有極小值f(2)=－(4/3).

3、方法提升：求可導函數極值的步驟是：（1）確定函數定義域，求導數f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有實數根；（3）對每個實數根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側，導函數f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右側符號不變，則f(x0)不是極值。四、用導數求函數的最值

五、證明不等式

5、方法提升：利用導數證明不等式是近年高考中出現的一種熱點題型。其方法可以歸納為“構造函數，利用導數研究函數最值”。

總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性，極值，最值以及切線問題。在導數的應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學生掌握一種科學的語言和工具，進一步加深對函數的深刻理解和直觀認識。

【摘要】新課程利用導數求曲線的切線，判斷或論證函數的單調性，函數的極值和最值。導數是分析和解決問題的有效工具。

【關鍵詞】導數函數的切線單調性極值和最值

導數（導函數的簡稱）是一個特殊函數，它的引出和定義始終貫穿著函數思想。新課程增加了導數的內容，隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函數是中學數學研究導數的一個重要載體，函數問題涉及高中數學較多的知識點和數學思想方法。近年好多省的高考題中都出現以函數為載體，通過研究其圖像性質，來考查學生的創新能力和探究能力的試題。本人結合教學實踐，就導數在函數中的應用作個初步探究。

有關導數在函數中的應用主要類型有：求函數的切線，判斷函數的單調性，求函數的極值和最值，利用函數的單調性證明不等式，這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數學學習的重點之一，預計也是“新課標”下高考的重點。

參考資料：

篇(7)

關鍵詞：二次函數；區間；最值問題

中圖分類號：G632　文獻標識碼：A　文章編號：1002-7661（2012）24-132-01

二次函數是中學數學中的重要函數，它的性質及應用是高考的重點考查內容，那么在本節，一個難點的問題是“二次函數在區間上的最值問題”這個問題出現在高中教材必修一教材中，對于剛上高中的學生而言，應該算作一個重點問題也是一個難點問題，那么我們如何幫助學生解決這一問題呢？本人做了一下歸納，希望對學生有所幫助。二次函數在區間上的最值問題，一般分為三大類，（1）定函數定區間（2）動函數定區間；（3）定函數動區間

具體如何解決，本人認為影響二次函數在閉區間上的最值主要由三個因素：拋物線的開口方向，對稱軸，和區間位置。二次函數在閉區間上必有最大值和最小值，他只能在區間端點或二次函數圖象的頂點處取得，三大類問題都遵循以下方法。

二次函數在閉區間上的最值討論的一般方法：

當a＞0時，　f（x）在區間[p，q]上的最大值為M，最小值為m。令X0=（p+q）

（1）若　＜p，則f（p）=m，f（q）=M；

（2）若p≤　＜X0，z則f（　）=m，　f（q）=M；

（3）若X0≤　＜q，則f（p）=M，　f（?。?m；

（4）若　≥q，　f（p）=M，　f（q）=m；

當a＜0時，f（x）在[p，q]上的最大值與上述最小值討論一致，而最小值類似上述最大值討論。

問題一　定函數定區間

例1求函數f（x）=2x2-4x+3在[3，5]上的最值。

解：配方的f（x）=2（x-1）2+1，所以函數的對稱軸為x=1.又因為1＜3.所以函數在x=3處獲得最小值，在x=5處獲得最大值。

問題二　動函數定區間

例2求函數y=　x2-2ax-1在[0，2]上的最值。

分析；有y=（x-a）2-（a2+1）可知對稱軸為直線x=a是一個變量，應分a＜0，0　≤a≤1，　1＜a≤2，a＞2四種情況分別討論。

解：結合二次函數的圖象，觀察對稱軸直線x=a與區間[0，2]的位置關系，得

①當a＜0時，ymin=f（0）=-1　ymax=f（2）=3-4a，

y∈[-1，3-4a]；

②當0　≤a≤1時，ymin=-（a2+1），ymax=f（2）=3-4a，

y∈[-（a2+1），3-4a]；

③當1＜a≤2時，ymin　=-（a2+1），ymax　=f（0）=-1，

y∈[-（a2+1），-1]；

4）?、躠＞2時，ymin=f（2）=　3-4a，　ymax　=f（0）=-1

y∈[3-4a，-1].

問題三　定函數動區間

例4　設函數f?。▁）　=　x2-4x-4的定義域為[t－2，t－1]，　t∈R，求函數的最小值＆（t）的解析式。

解：（1）f　（x）　=?。▁-2　）2-8

①當[t－2，t－1]　[2，+∞），即-2≥2時，

f　（x）min=　f?。╰-2）=　（t-4）2-8

②當[t-2，t-1]　（-∞，2]，即

t-1≤2時，f?。▁）min=　f?。╰-1）=?。╰-3）2-8

③t-2＜2＜t-1，即3

f?。▁）min=　f?。?）=-8

小結：（1）解二次函數求最值問題，首先采用配方法，將二次函數化為y=a（　x-m　）2+n的形式的頂點（m，n）或對稱軸方程x=m.