數學思維論文精品(七篇)

序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇數學思維論文范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

篇(1)

一、學具操作有利于調動學生思維的積極性與創造性

小學數學教學中，學生的認知對象主要是經過前人無數次實踐總結出來的認識成果——概括化的知識體系，抽象性是它的一個重要特征。這就大大提高了認識的起點，增強了認知的難度。小學生注意力集中的時間短，如果讓學生從教師的語言——黑板——教師的動作中去接受知識，模仿思維，時間稍長，他們便因單調感到乏味。因此，讓學生操作學具，一方面可使學生手、口、腦、眼、耳多種感官并用，擴大信息源，創設良好的思維情境；另一方面也滿足了小學生好動、好奇的特性。利用學具操作的直觀具體性集中學生的注意力，營造出一個符合兒童認知規律的思維氛圍，有利于學生思維主動性與創造性的發揮。

二、學具操作有利于培養學生思維的層次性與邏輯性

如何處理抽象的數學問題，比如數學基本概念，應用題等，常規的教學方法主要是從一些“關鍵”的字、詞入手引導學生分析。由于這樣的方法本身就是抽象的，運用時相當一部分思維能力不夠強的學生就只能作機械地模仿，甚至無從下手，因而不易達到應有的教學效果。如果教學中充分發揮學生的主動性，讓學生擺一擺、做一做，把抽象的內容形象化，這能在“思維過渡”中起到“船”和“橋”的作用。例如：在教學“正方形的認識”時，我發給學生六張紙片（圖略），讓學生先數數六個圖形邊的條數和角的個數；歸納出它們的共同點（都是四邊形）。再用直尺量量每條邊的長度，看誰先指出四條邊都相等的圖形（菱形和正方形）。接下來再讓學生用三角板比一比這兩個圖形的角，找出四個角都是直角的圖形來。這時，再告訴他們，這就是我們今天要學習的“正方形”。之后，我又發給學生幾張大小不等的正方形紙片，讓學生數一數（邊數），量一量（邊長），比一比（角）。在此基礎上引導學生說出正方形的特征。這樣，把“正方形”放到“四邊形”的整體中去認識，分層揭示正方形的特征，讓學生參與了概念形成的思維過程，學生概括起來言之有物，思路清晰，邏輯性強。

三、學具操作有利于促進學生思維的內化與外化

無論是思維的內化還是外化，都必須在豐富“表象”的基礎上進行。而表象的建立，往往又離不開演示與操作。因此，應適當地加強操作教學，讓學生在操作實踐中充分感知，建立起豐富的表象基礎。

例如，為了幫助學生掌握能被3整除的數的特征，課上，我讓學生用小棒在千以內的數位順序表上擺數：先是用3根小棒擺出300、210、201、120、102、30、21……都能被3整除；然后用4根小棒擺出400、310、301、220、202、211……都不能被3整除；接著再用5根、6根……9根小棒去擺，引導學生發現擺出的數是否能被3整除與小棒的根數有關。引導學生比較得出：當小棒的根數是3的倍數時，擺出的數都能被3整除。在此基礎上再引導學生理解各位上數字和能被3整除的數能被3整除就水到渠成了。這樣，在操作中歸納，再把外部操作內化為思維的條件，通過表象進行思維，可順利地實現思維的內化。

與上例不同，在教學“20以內的進位加法”時，我則讓學生先把解題的過程在心里默想一遍，答題時一邊操作學具，一邊結合操作說出思考步驟。這樣手、口、腦并用，有利于學生將內部語言轉化為外部語言，促進思維的外化。

四、學具操作有利于提高學生思維品質和效率

培養學生思維的品質和效率，是發展思維能力的突破點，是提高教學質量的重要途徑。操作教學利于發揮學生的主體作用，課堂上學情濃，探索性強；學生互相交流，互相協作，為創造性地運用所學知識去發現新事物、提出新見解創設了良好的情境。

如教學平面圖形面積計算時，有不少題目的解法不唯一，對此，可讓學生利用學具畫、折、剪、拼，把條件間隱蔽的關系明朗化，從而開拓思路，得以多解。

附圖{圖}

如上圖(1)，已知平行四邊形面積為30平方厘米，求陰影部分面積。（單位：厘米）

我們可先求陰影部分三角形的底，再求出面積，或者用總面積減去梯形的面積求得。但在解題時，有不少學生在圖上添加了輔助線，思路就不同了：

如圖(1)：總面積÷2-直角三角形面積

如圖(2)：（總面積-長方形面積）÷2

如圖(3)：（總面積-平行四邊形面積）÷2

也有些學生把學具剪開，平移，重新拼合，變成圖(4)，解法更為直觀：（總面積-長方形面積）÷2。學會從不同的角度思考問題，有利于培養思維的靈活性與創造性，提高思維效率。

篇(2)

邏輯思維活動的能力，集中表現為應用內涵更博大、概括力更強的符號的能力，這種能力就是高度抽象的能力。確切地說，學生實現認識結構的組織，是思維過程的最關鍵環節和最本質的東西。提高邏輯思維活動的能力，是對創造性思維能力的自我開發。

（1）為了提高學生的邏輯活動的能力，則必從概念入手。在教學中教師要引導學生充分認識構成概念的基本條件，揭示概念中各個條件的內在聯系，掌握概念的內涵和外延，在此基礎上建立概念的結構聯系。

（2）引導學生正確使用歸納法，善于分析、總結和歸納。由歸納法推理所得的結論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能對于科學的發現是十分有用的。

（3）引導學生正確使用類比法，善于在一系列的結果中找出事物的共同性質或相似處之后，推測在其它方面也可能存在的相同或相似之處。

2.發散思維的培養

發散思維有助于克服那種單一、刻板和封閉的思維方式，使學生學會從不同的角度解決問題的方法。在課堂教學中，進行發散思維訓練常用的方法主要有以下兩點：

（1）采用“變式”的方法。變式教學應用于解題，就是通常所說的“一題多解”。一題多解或一題多變，能引導學生進行發散思考，擴展思維的空間。

（2）提供錯誤的反例。為了幫助學生從事物變化的表象中去揭示變化的實質，從多方面進行思考，教師在從正面講清概念后，可適當舉出一些相反的錯誤實例，供學生進行辨析，以加深對概念的理解，引導學生進行多向思維活動。

3.形象思維的培養

形象思維能力集中體現為聯想和猜想的能力。它是創造性思維的重要品質之一，主要從下面幾點來進行培養：

（1）要想增強學生的聯想能力，關鍵在于讓學生把知識經驗以信息的方式井然有序地儲存在大腦里。

（2）在教學活動中，教師應當努力設置情景觸發學生的聯想。在學生的學習中，思維活動常以聯想的形式出現，學生的聯想力越強，思路就越廣闊，思維效果就越好。

（3）為了使學生的學習獲得最佳效果，讓聯想導致創造，教師應指導學生經常有意識地對輸入大腦的信息進行加工編碼，使信息納入已有的知識網絡，或組成新的網絡，在頭腦中構成無數信息的鏈。

4.直覺思維的培養

在數學教學過程我們應當主動創造條件，自覺地運用靈感激發規律，實施激疑頓悟的啟發教育，堅持以創造為目標的定向學習，特別要注意對靈感的線形分析，以及聯想和猜想能力的訓練，以期達到有效地培養學生數學直覺思維能力之目的。

（1）應當加強整體思維意識，提高直覺判斷能力。扎實的基礎是產生直覺的源泉，阿提雅說過：“一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子，以及與其他東西的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗，對此你就會產生一種正在發展的過程是怎么回事，以及什么結論應該是正確的直覺?！?/p>

（2）要注重中介思維能力訓練，提高直覺想象能力。例如，通過類比，迅速建立數學模型，或培養聯想能力，促進思維迅速遷移，都可以啟發直覺。我們還應當注意猜想能力的科學訓練，提高直覺推理能力。

（3）教學中應當滲透數形結合的思想，幫助學生建立直覺觀念。

（4）可以通過提高數學審美意識，促進學生數學直覺思維的形成。美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養學生對數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識。

5.辯證思維的培養

辯證思維的實質是辯證法對立統一規律在思維中的反映。教學中教師應有意識地從以下幾個方面進行培養：

（1）辯證地認識已知和未知。在數學問題未知里面有許多重要信息，所以未知實際上也是已知，數學上的綜合法強調從已知導向未知，分析法則強調從未知去探求已知。

（2）辯證地認識定性和定量。定性分析著重抽象的邏輯推理；定量分析著重具體的運算比較，雖然定量分析比定性分析更加真實可信，但定性分析對定量分析常常具有指導作用。

（3）辯證地認識模型和原型。模型方法是現代科學的核心方法，所謂模型方法就是通過對所建立的模型的研究來推知原型的某種性質和規律。這種方法需要我們注意觀念上的轉變和更新。

6.各種思維的協同培養

當然，任何思維方式都不是孤立的。教師應該激勵學生大膽假設小心求證，并在例題的講解中穿插多種思維方法，注意培養學生的觀察力、記憶力、想象力等，以達到提高學生創造性思維能力的目的。我們來看下面這些例子：

例1：觀察下列算式：

作用的結果。

再進一步觀察，可以發現3=5-2，4=7-3，4=9-5，…，D=A-B。能發現這樣的規律，正是我們的邏輯思維作用的結果。

何一個創造性思維的產生都是這些思維互相作用的結果。

例2：如圖：在RtABC中，∠ACB=90°，CDAB，垂足為D，求AC的長。請補充題目的條件，每次給出兩條邊。

本題是一個條件發散的題目，條件的發散導致多種解法的產生。事實上，至少存在如下10種解法：

（1）AD，CD；（2）AB，CB；

（3）AD，AB；（4）AD，DB；

（5）AB，DB；（6）CD，DB；

（7）CB，DB；（8）AB，CD；

（9）CB，CD；（10）AD，CB。

已知（1）（2）時，直接應用勾股定理；已知（3）（4）（5）時，直接應用射影定理。只用一次定理即可求出AC，可見已知和結論距離較近。

已知（6）（7）（8）（9）（10）時，需要應用兩次定理才能求解，這五種情況比較，已知與結論的距離遠些。

通過對此題的研究，“窮舉法”在列舉各種已知條件的可能性時得到應用，并體現了發散思維一題多解的思想，更重要的是，學生在觀察中了解了自己的思維層次，在總結、選擇中提高了思維水平，由發散到集中（非邏輯思維到邏輯思維），學生的創造性思維就會逐步形成。

總之，我們要利用各種思維相互促進的關系，把學生的思維習慣逐漸由“再現”導向“創造”，用已掌握的知識去研究新知識，引導他們總結規律，展示想象，大膽創新。

總而言之，我們可以看到，創造性思維既有別于傳統教育所注重的邏輯思維，又并非單純意義上的發散思維，它是由邏輯思維、非邏輯思維、直覺思維和辯證思維所構成的有機的整體，并且是一個人創造力的核心。數學教學應該盡快地轉變思想，從傳統的教育模式向培養創造性人才的教育模式轉變，從傳統教育所強調的邏輯思維向現代社會所需要的創造性思維轉變。這個過程將是漫長的，我們將繼續探索下去。

參考文獻：

［1］仇保燕.教學思維方法.武漢：湖北教育出版社，1994：221-235.

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［3］王仲春，李元中，顧莉蕾，孫名符.數學思維與數學方法論北京：高等教育出版社，1988：97-101.

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篇(3)

【關鍵詞】數學教學；數學思維

數學教學就是指數學思維活動的教學，對數學思維的研究，是數學教學研究的核心。在數學教學中如何發展學生的數學思維，培養學生的數學思維能力是高中數學新課程標準的基本理念，也是數學教育的基本目標之一。數學教學過程的基本目標是促進學生的發展，按照新課標的基本理念，它不只是讓學生獲得必要的數學知識、技能，還應當包括在啟迪、解決問題、情感與態度等方面的發展。數學思維在學生數學學習中具有重要作用，沒有數學思維，就沒有真正的數學學習，數學教學的一個首要任務是培養學生的思維能力。

把教材知識系統與學生已有認知經驗能夠很好的融合在一起。教學過程中思維嚴謹，邏輯性強，善于啟發誘導。在教學中，教師應有意識地通過知識的傳授，去培養學生深刻的思維能力。比如，講定義、定理時，不僅注意準確解釋詞句的內含外延，而更要注意通過一些實例來指引學生參加結論的導出，以培養學生的概括能力。

數學思維是一個人的優秀品質。一個人有好的數學思維品質是難能可貴的。

1.教師在學生解題訓練中培養學生的數學思維

數學題是數學教學內容的重要組成部分,教師用這些題目去加深學生對所學知識的了解、掌握和運用,也用它們衡量學生對知識掌握的程度,檢驗教學效果。解題過程包括弄清問題、尋求解題思路、寫出解題過程、解答回顧等四個重要環節，第一個環節是解題的起始，第四個環節是解題的歸宿和升華；這四個環節對于培養學生數學思維的嚴謹性、廣闊性、深刻性等優良品質有著重要的意義。

2.教師通過在教學中挖掘知識的內在思想來培養學生的數學思維要有意識的激發學生思維成長

在教學中，教師要十分注意激起學生強烈的學習興趣和對知識的渴求，使他們能帶著一種高漲的情緒從事學習和思考。例如在高一年級講述函數求值域的問題時，我們先從學生初中已學過的（）入手，逐步引導學生，值域，值域，值域，值域，讓其自己發現結論，經過每一步學生自己參與自己總結很自然的他們會總結出這種形式函數的值域問題。這就是解題過程中激發學生的興趣，以激發學生對新知識、新方法的探知思維活動，這將有利于激發學生的學習動機和求知欲。在學生不斷地解決知與不知的矛盾過程中，還要善于引導他們一環接一環地發現問題、思考問題、解決問題。

3.教學過程中讓學生體會獨立思考，認真思維帶來的樂趣

在教學過程中，讓學生主動參與到學習過程中來，培養其學習的興趣。這對于學生主動思考，獨立思考是有很大幫助的。可以極大的鍛煉學生的數學思維能力。如：橢圓的定義，傳統的教學主要是教師自己拿一段細繩和兩枚圖訂在黑板上演示橢圓的形成過程，然后給出橢圓的定義。這樣的教學方法直接呆板，學生參與少、思考少，而且這樣直接了解橢圓的定義，會造成單純的記憶性，缺少探索性。因而記憶的印象不夠深刻，運用其解決實際問題更難，實際上沒有真正培養到學生的數學思維能力。假如換個角色，由教師為主角演練，換成把數學學習的主動權交給學生，讓學生親自實踐，大膽探索：先讓學生拿出課前準備好的一塊紙板，一段細繩和兩枚圖訂，自己動手畫圖，然后同桌相互評價；其次在兩枚圖訂之間的距離發生變化而繩長不變的條件下對所畫圖形自主進行探索；最后對概念的歸納進行討論，學生試著說出橢圓的定義，教師補充。這樣通過學生自己的體驗，用自己的思維方式，通過獨立思考、合作交流、歸納整理，形成新的知識結構，而且學生之間在討論中相互補充，這樣使他們的直觀感知、觀察發現、歸納類比等數學思維能力在課堂教學活動中得到鍛煉和提高，同時又能真正體現數學課堂教學的本質，實現教學雙長。

另外當學生真正獨立思考，獨立解決問題以后，教師在設置相應的縱向的知識聯系就更能激發學生想象，如在學生掌握橢圓的定義之后。我們可以馬上設置雙曲線的定義問題由距離的和很順利的過渡到距離的差，以激發同學對知識的渴望，形成良性循環。先思考，然后參與，再總結。

4.數形結合的思想的重要性

數形結合的思想是數學中的重要思想，它可極大的鍛煉學生的感官與理性認識的結合。因此利用數形結合，培養學生的數學思維能力是很有必要的。數形結合就是將抽象的數學語言、符號與其所反映的圖形有機的結合起來，從而促進抽象思維與形象思維的有機結合，通過對直觀圖形的觀察與分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得以解決。例如在介紹絕對值不等式恒成立的問題時：恒成立，求的取值范圍。就可引導學生去考慮絕對值的幾何意義即是距離問題。那么該題即考察數軸上到2與5距離的和的最小值問題，畫出數軸即可解決只需即可。另外在二次函數相關問題的解決時，如在講述二次函數在閉區間上根的分布以及取值問題時，引導同學畫圖像，發現特點，在從理論上去說明，就是將解決問題的所有方法先呈現給學生，讓其自己去發現，去總結如何整合這些資源以利己用。再如，講述函數性質的內容時，單調性與奇偶性的發現就是充分利用了數形結合的思想；解析幾何中的這種應用更為普遍。所有這些都能極大的鍛煉學生的思維能力。

總之，在數學教學中多進行有目的的思維訓練，不僅要讓學生多掌握解題方法，更重要的是要培養學生靈活多變的解題思維，從而既提高學生數學思維能力，又達到發展智力的目的。

參考文獻

1.任樟輝.《數學思維論》，廣西教育出版社，2003年1月

篇(4)

思維是人腦對客觀現實的概括和間接的反映，反映的是事物的本質及內部的規律性。所謂數學教學中實現學生思維能力的培養，是指學生在對數學感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握數學內容而且能對具體的數學問題進行推論與判斷，從而獲得對數學知識本質和規律的認識能力。數學思維雖然并非總等于解題，但我們可以這樣講，中學生數學思維的形成是建立在對中學數學基本概念、定理、公式理解的基礎上的；發展學生數學思維最有效的方法是通過解決問題來實現的。然而，在學習數學過程中，我們經常聽到學生反映上課聽老師講課，聽得很明白，但到自己解題時，總感到困難重重，無從入手。事實上，有不少問題的解答，學生發生困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是其思維形式或結果與具體問題的解決存在著差異，也就是說，這時候，學生的數學思維存在著障礙。這種思維障礙，有的是來自于我們教學中的疏漏，而更多的則來自于學生自身，來自于學生中存在的非科學的知識結構和思維模式。因此，研究中學生的數學思維障礙對于增強中學生數學教學思維培養的針對性和實效性有十分重要的意義。

二、中學數學教學中學生思維能力的培養方法呈現

1.注重數學思想方法體現中培養學生思維能力

數學思想方法是數學思想和數學方法的總稱。數學思想是對數學知識與方法形成的規律性的理性認識，是解決數學問題的根本策略。數學方法是解決問題的手段和工具。數學思想方法是數學的精髓，只有掌握了數學思想方法，才算真正掌握了數學，才可以為數學教學中學生思維能力的培養奠定堅實的基礎。因而，數學思想方法體現必須成為學生思維能力培養的重要組成部分。現行教材中蘊含了多種數學思想和方法，在教學時，我們應充分挖掘由數學基礎知識所反映出來的數學思想和方法，設計數學思想方法的教學目標，結合教學內容適時滲透、反復強化、及時總結，用數學思想方法武裝學生，使學生真正成為數學的主人。

2.注重探究方式運用中培養學生思維能力

數學探究性教學，就是教師引導學生以探究的方式學習數學。這種教學方法強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生充分自由表達、質疑、探究、討論問題，從而主動地獲取知識并應用知識解決問題，目的是使學生在思維能力培養方面得到發展。而教師引導學生探究的首要任務就是如何創設探究學習的情境。在數學教學中，探究情境的設計應充分利用外在的物質材料，展示內在的思維過程，揭示知識的發生、發展過程。應具有促進學生智力因素和非智力因素的發展。還應使問題情境結構、數學知識結構、學生認識結構三者和諧統一，促進數學知識結構向學生認識結構的轉化，既要創設與當前教學要解決的問題，又要創設與當前問題有關，并能使學生回味思考的問題。

3.注重教學方法優化中培養學生思維能力

教師的教法常常影響到學生思維能力的培養，事實上，富有新意的教學方法能及時為學生注入靈活思維的活力。特別是數學教學過程中的導入出新，它也可以被理解為引人入勝教學法。如通過敘述故事、利用矛盾、設置懸念、引用名句、巧用道具等新穎多變的教學手段，使學生及早進入積極思維狀態。為此，在數學教學中，我們教師必須著重了解和掌握學生的基礎知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學生認知發展的階段性特點，照顧到學生認知水平的個性差異，強調學生的主體意識，發展學生的主動精神，培養學生良好的意志品質；同時要培養學生學習數學的興趣。興趣是最好的老師，學生對數學學習有了興趣，才能產生數學思維的興奮灶，也就是更大程度地預防學生思維障礙的產生。教師可以幫助學生進一步明確學習的目的性，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，提高學生學好數學的信心。

4.注重主體活動參與中培養學學生思維能力

由于數學教學的本質是數學思維活動的展開，因此數學課堂上學生的主要活動是通過動腦、動手、動口參與數學思維活動。教師不僅要鼓勵學生參與，而且要引導學生主動參與，才能使學生主體性得到充分的發揮和發展，只有這樣，才能不斷提高數學活動的開放度。這就要求我們在教學過程中為學生創造良好的主動參與條件，提供充分的參與機會。學生活動參與過程中，我們要特別注意運用變式教學，確保學生參與教學活動的持續熱情。變式教學是對數學中的定理和命題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點間的內在聯系的一種教學設計方法。通過變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，促使其產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情。

5.注重主體閱讀過程中培養學生思維能力

誠然，閱讀是學生自主學習獲取知識的一種學習過程，是人類汲取知識的主要手段和認識世界的重要途徑。但是，迄今為止，對于閱讀與學生思維能力的培養研究尚未有明確的定論，筆者結合自己的教學實踐以及通過研究學生思維發展模式清楚地發現，數學教學中科學引導學生閱讀文本對于培養學生的思維能力大有裨益。誠然，數學是一種語言。數學教育家斯托利亞爾說過：“數學教學也就是數學語言的教學”。而語言的學習是離不開閱讀的，所以，數學的學習不能離開閱讀,閱讀能使學生的思維發展嚴密，顯得有邏輯。因此，數學教學中應將閱讀引入課堂，并納入到數學課堂教學的基本環節中去，引導學生在閱讀過程中進行積極思維，對教材中提供的原材料主動進行邏輯推理，通過發現與文本下文所給結論相同或相似的結論，體驗發現者的成就感，培養推理與發現的思維，從而提高和發展學生的思維能力。

總之，義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧的發展。它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力方面得到進步和發展。因此，我們要充分重視數學教學中學生思維能力的培養。

參考文獻：

[1]田萬海.數學教育學.浙江教育出版社.

[2]張奠宙.數學的明天.廣西教育出版社.

[3]戴汝潛.中學數學教學藝術.山東教育出版社.

篇(5)

一、在求異中培養發散思維

贊可夫說過：“凡是沒有發自內心求知欲和興趣和東西，是很容易從記憶中揮發掉的?！卑l散性思維的形成是以樂于求異的心理傾向作為一種重要的內驅力。教師要善于選擇具體題例，創設問題情境，例如：一條水渠，甲單獨修要8天完成，乙單獨修要6天完成，現在甲先修了4天，剩下的讓乙修。乙還要幾天可以完成？學生都能按照常規思路作出（1-1/8×4）÷1/6解答，教師要求用別的方法解答，學生一時想不出，通過教師的引導學生得出了：6×（1-1/8×4），6-1/8×4÷1/6，教師精細地誘導他們的求異意識。對于學生在思維過程中時不時地出現的求異因素要及時給予肯定和熱情表揚，并記上優分以資鼓勵使學生真切體驗到自己求異成果的價值，反饋出更大程度的求異積極性，對于學生欲尋異解而不能時，則要細心點撥。潛心誘導，幫助他們獲得成功，讓他們在對于問題的多解的艱苦追求并且獲得成功中，備享思維發散這一創造性思維活動的樂趣，使學生漸漸生成自覺的求異意識，并日漸發展為穩定的心理傾向，在面臨具體問題時，就會能動地作出“還有另解嗎？”“試試看，再從××角度分析一下！”的求異思考。

二、在變通中培養發散思維

變通，是發散思維的顯著標志。要對問題實行變通，只有在擺脫習慣性思考方式的束縛，不受固定模式的制約以后才能實現，因此，在學生較好地掌握了一般方法后，要注意誘導學生離開原有思維軌道，從多方面考慮問題，實行變通。當學生思路閉塞時，教師要善于調度原型幫助學生接通與有關舊知識和解題經驗的聯系，作出轉換、假設、化歸、逆反等變通，產生多種解決問題的設想。

三、在獨創中培養發散思維

在分析和解決問題的過程中，學生能別出心裁地提出新異的想法和解法，這是思維獨創的表現。盡管小學生的獨創從總體上看是處于低層次的，但它蘊育著未來的大發明、大創造，教師應滿腔熱情地鼓勵他們別出心裁地思考問題，大膽地提出與眾不同的意見和質疑，獨辟蹊徑地解決問題，這樣才能使學生思維從求異、發散向創新推進。

篇(6)

本文擬從三個方面談談解題教學當中，如何轉換分析角度，加強思維訓練。

一、四則運算中，要通觀全題，轉換思路，訓練思維的靈活性和簡潔性。

四則運算中同樣要講究思維的靈活和簡潔，要防止僵化，避免繁瑣。

例1、計算55/3514×5/7。

分數乘法，按法則學生常常不加思索，先把帶分數化為假分數，爾后再乘。但觀察本題，63與5/7,49/55與5/7分別可以約簡和約分，因此結合學過的知識，有

原式=(63+49/55)×5/7=63×5/7+49/55×5/7

=45+7/11=502/11。

整個計算靈活而簡潔。

例2、計算(11-11/36)+(9-11/36×5)+(1-11/36×3)+(5-11/36×9)+(3-11/36×7)+(7-11/36×11)。

要是按部就班先算出每個小括號內的結果，是麻煩的。但分析比較每個小括號內的被減數和“減數”，馬上會使我們想到去括號，并靈活地將被減數和“減數”重新組合起來，于是有

原式=(11+9+7+5+3+1)-11/39×(11+9+7+5+3+1)

=(11+9+7+5+3+1)×(1-11/36)

=36×25/36=25

此處思維的靈活性還體現在乘法分配律對減法的通用。

二、應用題求解中，要抓住數量關系，轉化思路，訓練思維的深刻性和創造性。

抓住應用題的數量關系，探索問題的實質，積極主動地發現新路子，提出新見解，為最終創造性地解決問題服務。

例3、一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝上一次剩下的一半，問甲五次一共喝下多少牛奶？

這道題本身不難。把五次所喝的牛奶加起來即出結果。但要是這樣想：甲喝過五次后，杯中還剩多少奶？一杯牛奶減去剩下的，不就是喝下的了嗎？這一思路的有新意。如果再以一個正方形表示一杯牛奶，則右圖中陰影部分就表示已喝下的牛奶。而不帶陰影的部分為所剩牛奶。那么1-1/32=31/32（杯）即甲所喝牛奶。以上思維就比較深刻且數形結合，富有創造性。

（附圖{圖}）

例4、某筑路隊計劃6天鋪900米水泥路，結果提前一天完成了任務。問工作效率提高了百分之幾。

常規解法不成問題，其綜合算式及結果為：

[900÷(6－1)－900÷6]÷(900÷6)＝0.2＝20％。

變換思路：提高工效后5天鋪好，原計劃6天鋪好。也就是說現在鋪一天相當于原計劃鋪6÷5＝1.2（天），因此，現在的工效是原來的120％，從而工效提高了20％。其綜合式是

6÷(6-1)-1＝20％

這一解法別開生面，獨到而巧妙。

三、面積計算中，轉化著眼點，訓練思維的廣闊性和有序性。

小學幾何的面積計算中，學生常?？嘤谒悸烽]塞。教學中應采用輔助線或圖形變換等，啟發學生分析。分析的著眼點不同，解題思路也不同。解法也會不一樣，這種一題多解或一法多用正是思維廣闊性的體現。

例5、正方形的邊長為8厘米，求圖1中陰影部分的面積（為方便計，取3作π的近似值）。

（附圖{圖}）

要求陰影的面積，就圖1，思考路子不很明顯。一旦作出正方形對邊中點的連線（圖1─1），思序就容易入軌。

（附圖{圖}）

析解1從圖形可以看出陰影的面積就等于大直角扇形的面積減去①、②、③三塊圖形面積所得的差。即

S[,陰影]=S[,大扇形]-S[,①]-S[,②]-S[,③]

=π/4-8[2,]-(4[2,]-π/4×4[2,])-4[2,]-π/4×4[2,]

=48-(16-12)-16-12

=16(平方厘米)

析解2觀察圖1，連對角線，并作適當割補（圖1─2），由圖1─2，很快可發現陰影的面積就等于大直角扇形的面積減去一個直角三角形的面積的差，所以

S[,陰影]=S[,大扇形]-S[,直角三角形]

=π/4×8[2,])-1/2×8×8

=48-32

=16(平方厘米)

（附圖{圖}）

析解3就圖1，再作一個對稱的直角扇形（圖1─3），我們把陰影塊標（一），其余三塊分別標上（二）、（三）和（四），從圖1─3看出，S（一）＝S（二），S（三）＝S（四），而

S[,三]=S[,四]=S[,正方形]-S[,大扇形]=8[2,]-π/4×8[2,]≈16（平方厘米）

（附圖{圖}）

析解4分析圖1─1，可以設想將圖1─1中的圖形①遷移到扇形③的右上角而正好填滿所在的小正方形，見圖1─4。這就是說，圖形①、②、③的面積之和恰好等于大正方形的一半。于是有

S[,陰影]=S[,大扇形]-(S[,①]+S[,②]+S[,③])

=S[,大扇形]-1/2S[,正方形]

=π/4×8[2,]-1/2×8[2,]≈48-32

=16（平方原米）

篇(7)

[關鍵詞]構造創新

什么是構造法又怎樣去構造？構造法是運用數學的基本思想經過認真的觀察，深入的思考，構造出解題的數學模型從而使問題得以解決。構造法的內涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體的問題的特點而采取相應的解決辦法，及基本的方法是：借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按習慣定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發學生根據題目特點，展開豐富的聯想拓寬自己思維范圍，運用構造法來解題也是培養學生創造意識和創新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有所幫助，下面我們通過舉例來說明通過構造法解題訓練學生發散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思想的創新。

1、構造函數

函數在我們整個中學數學是占有相當的內容，學生對于函數的性質也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內容來解決棘手問題，同時也達到了訓練學生的思維，增強學生的思維的靈活性，開拓性和創造性。

例1、已知a，b，m∈R+，且ab求證：（高中代數第二冊P91）

分析：由知，若用代替m呢？可以得到是關于的分式，若我們令是一個函數，且∈R+聯想到這時，我們可以構造函數而又可以化為而我們又知道在[0，∞]內是增函數，從而便可求解。

證明：構造函數在[0，∞]內是增函數，

即得。有些數學題似乎與函數毫不相干，但是根據題目的特點，巧妙地構造一個函數，利用函數的性質得到了簡捷的證明。解題過程中不斷挖掘學生的潛在意識而不讓學生的思維使注意到某一點上，把自己的解題思路擱淺了。啟發學生思維多變，從而達到培養學生發散思維。

例2、設是正數，證明對任意的自然數n，下面不等式成立。

≤

分析：要想證明≤只須證明

≤0即證

≥0也是

≥0對一切實數x都成立，我們發現是不是和熟悉的判別式相同嗎？于是我們可以構造這樣的二次函數來解題是不是更有創造性。

解：令

只須判別式≤0，=≤0即得

≤

這樣以地于解決問題是很簡捷的證明通過這樣的知識轉移，使學生的思維不停留在原來的知識表面上，加深學生對知識的理解，掌握知識更為牢固和知識的運用能力。有利于培養學生的創新意識。

2、構造方程

有些數學題，經過觀察可以構造一個方程，從而得到巧妙簡捷的解答。

例3、若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0求證：X，Y，Z成等差數列。

分析：拿到題目感到無從下手，思路受阻。但我們細看，題條件酷似一元二次方程根的判別式。這里a=x-y，b=z-x，c=y-z，于是可構造方程由已知條件可知方程有兩個相等根。即。根據根與系數的關系有即z–y=y-x，x+z=2y

x，y，z成等差數列。遇到較為復雜的方程組時，要指導學生會把難的先簡單化，可以構造出我們很熟悉的方程。

例4、解方程組我們在解這個方程組的過程中，如果我們用常規方法來解題就困難了，我們避開這些困難可把原方程化為：

于是與可認為是方程兩根。易求得再進行求解(1)或(2)

由(1)得此時方程無解。

由(2)得解此方程組得：

經檢驗得原方程組的解為：

通過上面的例子我們在解題的過程中要善于觀察，善于發現，在解題過程中不墨守成規。大膽去探求解題的最佳途徑，我們在口頭提到的創新思維，又怎樣去創新?創新思維是整個創新活動的關鍵，敏銳的觀察力，創造性的想象，獨特的知識結構及活躍的靈感是其的基本特征。這種創新思維能保證學生順利解決問題，高水平地掌握知識并能把知識廣泛地運用到解決問題上來，而構造法正從這方面增訓練學生思維，使學生的思維由單一型轉變為多角度，顯得積極靈活從而培養學生創新思維。

在解題的過程中，主要是把解題用到的數學思想和方法介紹給學生，而不是要教會學生會解某一道題，也不是為解題而解題，給他們學會一種解題的方法才是有效的授之以魚，不如授之以漁。在這我們所強調的發現知識的過程，創造性解決問題的方法而不是追求題目的結果。運用構造方法解題也是這樣的，通過講解一些例題，運用構造法來解題的技巧，探求過程中培養學生的創新能力。

華羅庚：“數離開形少直觀，形離開數難入微?！崩脭敌谓Y合的思想，可溝通代數，幾何的關系，實現難題巧解。

3.構造復數來解題

由于復數是中學數學與其他內容聯系密切最為廣泛的一部分，因而對某些問題的特點，可以指導學生從復數的定義性質出發來解決一些數學難題。

例5、求證：≥

分析：本題的特點是左邊為幾個根式的和，因此可聯系到復數的模，構造復數模型就利用復數的性質把問題解決。

證明：設z1=a+biz2=a+(1-b)iz3=(1-a)+(1+b)iz4=(1–a)+bi

則左邊=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|

≥|z1+z2+z3+z4|

≥|2+2i|=

即≥

例6、實數x，y，z，a，b，c，滿足

且xyz≠0求證：

通過入微觀察，結合所學的空間解析幾何知識,可以構造向量

聯想到≤結合題設條件

可知，向量的夾角滿足，這兩個向量共線，又xyz≠0

所以

利用向量等工具巧妙地構造出所證明的不等式的幾何模型，利用向量共線條件，可解決許多用普通方法難以處理的問題對培養學生創新思維十分有益。

4.構造幾何圖形

對于一些題目，可借助幾何圖形的特點來達到解題目的，我們可以構造所需的圖形來解題。

例7、解不等式||x-5|-|x+3||6

分析：對于這類題目的一般解法是分區間求解，這是比較繁雜的。觀察本題條件可構造雙曲線，求解更簡捷。

解：設F(-3，0)F(5，0)則|F1F2|=8，F1F2的中點為O`(1，0)，又設點P(x，0)，當x的值滿足不等式條件時，P點在雙曲線的內部

1-31+3即-24是不等式的解。

運用構造法就可以避免了煩雜的分類討論是不是方便得多了，引導學生掌握相關知識運用到解決問題上來。

又如解不等式：

分析：若是按常規的解法，必須得進行分類討論而非常麻煩的，觀察不等式特點，聯想到雙曲線的定義，卻柳暗花明又一村可把原不等式變為

令則得由雙曲線的定義可知，滿足上面不等式的(x，y)在雙曲線的兩支之間區域內，因此原不等式與不等式組：同解

所以不等式的解集為：。利用定義的特點，把問題的難點轉化成簡單的問題，從而使問題得以解決。

在不少的數學競賽題，運用構造來解題構造法真是可見一斑。

例8、正數x，y，z滿足方程組：

試求xy+2yz+3xz的值。

分析：認真觀察發現5，4，3可作為直角三角形三邊長，并就每個方程考慮余弦定理，進而構造圖形直角三角形ABC，∠ACB=90°三邊長分別為3，4，5，∠COB=90°

∠AOB=150°并設OA=x，OB=，，則x，y，z，滿足方程組，由面積公式得：S1+S2+S3=

即得：xy+2yz+3xz=24