數學研究論文精品(七篇)

序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇數學研究論文范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

篇(1)

數學是思維的體操，發展數學的思維是數學課堂教學的靈魂。讓每個學生學會思考，這不僅是21世紀人才的需要，而且也是學生思維發展的標志。

分析解答應用題的能力是學生邏輯思維能力的綜合體現。應用題教學就是培養學生運用數學知識解決實際問題和發展思維。因為在應用題教學過程中，努力地展現教師的原始思維，讓學生積極參與教師的思維過程。這樣也許會現難堪的境地，但無論教師在展示過程中的思路，是成功的，還是失敗的，堅信它總是可以給學生帶來啟示的，這也是有的放矢地發展自然科學思維特有的素質，從而發展學生的全面的數學能力素質?，F舉例說明如下：

例1某班用班費20元，買回乒乓球和羽毛球共44個，已知乒乓球每個0.4元，羽毛球每個0.5元，問兩種球各買多少個？

展示思維過程，這道應用題涉及個數和錢的數量關系問題，必須明確個數、錢數的數量及其之間關系，因此通過列表加以分析解決：

乒乓球

羽毛球

總計數量

個數（個）

？

？

44

錢數（個）

？

？

20

由于乒乓球、羽毛球個數未知，雖然已知乒乓球、羽毛球每個的價錢，仍無法表達乒乓球、羽毛球所花費的錢數。因此，問題就轉入對乒乓球、羽毛球的個數的分析和設取。（這又恰好是我們問題要求的），如果我們設乒乓球的個數為x個，根據“買回乒乓球和羽毛球共44個”這一數量關系，羽毛球的個數便可表達為（44-x）個。這樣便設取出乒乓球和羽毛球的個數，再根據個數與所花的球錢數之間的數量關系，便可表達出乒乓球和羽毛球所花的錢數，那么分析表格就成為：（注：①②③④為逐步分析設取表達的順序）

乒乓球

羽毛球

總計數量

個數（個）

x①

（44-x）②

44

錢數（個）

0.4x③

0.5（44-x）④

20

進而根據花費的錢數關系就可以列出方程：0.4x+0.5（44-x）=20

解：設乒乓球買回x個，那么羽毛球買回（44-x）個，根據題意得：

0.4x+0.5（44-x）=20

解這個一元一次方程，得：x=20

所以羽毛球個數：44-20=24（個）

答：乒乓球買回20個，羽毛球買回了24個。

例2現有溶度90%和45%的酒精溶液，各取多少千克能配制出75%的酒精溶液6千克？

展示思維過程：這道應用題是有關溶度問題，必須明確溶液量、溶度、溶質量的數量及其之間的關系，通過列表充分體現：

溶液量（千克）

溶度

溶質量（千克）

配制前

？

90%

？

？

45%

？

配制后

6

75%

6×75%

由于所要取的溶液量未知，那各自溶液中所含的溶質的量也就無法表達。因此，癥結轉入對所取各溶液量的分析和設取。如果設取90%的酒精溶液量為x千克，那么通過分析配制前后溶液量的變化，便可得出45%的酒精溶液量為（6-x）千克。進而根據溶度問題中最基本的關系即：溶質量=溶液量×溶度，便可表達出各自溶液中所含純酒精（即溶質量）的量，分析表格便成為：（注：①②③④為逐步分析設取表達的順序）

溶液量（千克）

溶度

溶質量（千克）

配制前

x①

90%

90%x②

（6-x）③

45%

45%（6-x）④

配制后

6

75%

6×75%

從而根據配制前后溶質的量的變化關系，便可列出方程：

解：設需要取90%的酒精溶液x千克，那么取45%的酒精溶液（6-x），

根據題意得：90%x+45%（6-x）=6×75%解這個方程得：x=4

所以45%的酒精溶液量：6-4=2（千克）

篇(2)

一、“四大難關”的成因

立足于幫助學生順利度過“四大難關”，教材研究的首要任務是應該搞清各個“難關”的成因。對此作宏觀分析，我們容易概括出下面三個方面的成因：

（1）抽象層次的提高

教學內容的抽象性是眾所周知的，但作為數學教材的數學內容，則著意體現由直觀到抽象的漸變過程，以適應學生認識的發展，在這種變化過程中，起伏程度有所不同，各大難關所表現的正是抽象程度的驟變過程，抽象層次驟然提高，這種變化若學生不能立即適應，就成為學習數學的巨大障礙，就成為“難關”了。

如從算術到代數的過渡，其重要標志就是用字母表示數，特別是字母代替的數既是確定的，又是任意的，這種兩重性與小學階段的數學內容相比，抽象程度顯著提高，可以說表現為一次飛躍；從代數到幾何的過渡，其抽象程度的飛躍則表現在由以前的單純的以計算為主到對數學問題的推理論證、大量抽象符號和數學語言的運用過渡；由常量數學到變量數學的過渡，以函數概念的引入為標志，宣布了數學問題的研究由處理相對穩定的數學問題進入處理運動、變化的量與量關系的數學問題的領域，標志著抽象層次的又一次大的邁進；而由有限到無限的過渡，是以極限概念的引入為標志的，其推理方式由對有限問題的處理進入對無限問題的處理，抽象程度又一次發生了質的改變。由此可見，抽象層次的提高，是“難關”的成因之一。

（2）研究對象的轉變

恩格斯在《反杜林論》中曾指出：“……純數學是以現實世界的空間形式和數量關系－－這是非?，F實的材料－－為對象的”這給數學尤其是初等數學的本質作出了很科學的概括。圍繞“數”和“形”這兩個方面討論而展開的。而在教材內容的發展過程中，由以數為主要研究對象的內容轉變到以形為主要研究對象的內容時，其角度、特點以及抽象程度都有顯著的變化，這一轉變過程中，學生不能很快適應，就會形成由代數到幾何的過渡－－初二平面幾何入門的一大難關。由數到形，又到數形結合，研究量與量之間運動、變化過程中表現出的關系，則又是一類研究對象，這就是函數概念的引進－－因研究對象與研究方法的轉變而導致的不適應，就出現了由常量數學到變量數學過渡的這一難關。而其它幾大難關也不同程度的涉及到研究對象的改變。由此可知，數學內容研究對象的轉變也是“難關”的成因之一。

（3）思維方式的轉變

每一次“難關”的出現，都相應地出現思維方式上大的轉變，都是對前面習慣思維的揚棄。當教學思維從特殊轉入對一般情況的研究時，就是相應的第一大難關的來臨，此時可以說思維進入歸納思維的范圍；而當平面幾何以全新的研究對象出現時，演繹推理－－從一般到特殊的思維方式占了主導地位，這種改變又導致了第二大難關的產生，而對辯證思維要求的提高，是導致后兩大難關的重要因素，因為這要經受由相對穩定－－運動變化－－無限領域的一系列重大變革，數學中的靜與動、有限與無限等矛盾在運動中被一一揭示出來，在思想方向上使中學生經受一次又一次的重大洗禮。由此可見，思維方式的轉變是“難關”的重要成因。

二、對策

（1）廣泛聯系、挖掘量變因素

前面已經指出，“難關”的出現其實質是一個質變過程，它需要量變的積累，如果量變有了充分準備，質變就顯得自然，“難關”也就容易克服。因此，就需要深刻挖掘量變因素，將教材抽象程度加工到使學生通過努力能夠接受的水平上來。在代數關系的研究中，積極注意挖掘與幾何結合較緊密的內容，廣泛聯系，縮小接觸新內容時的陌生度，避免因研究對象的變化而產生的心理障礙。

（2）重點深入，合理設置問題

要將“難關”分散到普通教材中來，就需要注意對普通教材由微觀到宏觀的透徹研究與重點深入。首先，明確局部內容在整體數學教材體系中的地位和作用；其次，運用前文所述的教材研究方法，合理設置問題，使問題的步子與學生的思維水平同步前進，以局部知識的掌握為整體服務，例如，針對某一概念，可圍繞下面幾個角度設置問題：概念的構成；概念所涉及的子概念；概念的外延；概念的內涵；概念的確定與否定；概念之間的關系；概念的應用以及由概念而設計的一些構造性問題等等。當然有些問題可設置一些啟發性的提問以使學生獨立獲得知識。問題與問題之間要有一定的梯度，以利于教學時啟發學生思維。

篇(3)

近幾年來，旨在教會學生會學習、提高學生自學能力的學法指導的研究和實踐已是基礎教育改革的一個熱門課題。這一課題的提出和研究，不僅對當前提高基礎教育質量、實施素質教育具有現實意義，而且對培養未來社會發展所需要的人才、促進科教興國具有歷史意義。

隨著社會、經濟、科技的高速發展，數學的應用越來越廣，地位越來越高，作用越來越大。不僅如此，數學教育的實踐和歷史還表明，數學作為一種文化，對人的全面素質的提高具有巨大的影響。因此，提高基礎教育中的數學教學質量，就顯得尤為重要?？赡壳坝捎谑堋皯嚱逃钡挠绊懀瑪祵W教學中違背教育規律的現象和做法時有發生，為此更新數學教學思想、完善數學教學方法就顯得更加迫切。在數學教學中，開展學法指導，正是改革數學教學的一個突破口。

一

對數學教學如何實施數學學習方法的指導，人們進行了許多有益的探索和實驗。首先是通過觀察、調查，歸納總結了中學生數學學習中存在的問題，如“學習懶散，不肯動腦；不訂計劃，慣性運轉；忽視預習，坐等上課；不會聽課，事倍功半；死記硬背，機械模仿；不懂不問，一知半解；不重基礎，好高騖遠；趕做作業，不會自學；不重總結，輕視復習”［1］等等。針對這些問題，提出了相應的數學學法指導的途徑和方法，如數學全程滲透式（將學法指導滲透于制訂計劃、課前預習、課堂學習、課后復習、獨立作業、學結、課外學習等各個學習環節之中）［2］；建立數學學習常規（課堂常規———情境美，參與高，求卓越，求效率；課后常規———認真讀書，整理筆記，深思熟慮，勇于質疑；作業常規———先復習，后作業，字跡清楚，表述規范，計算正確，填好《作業檢測表》，重做錯題）［3］等等。誠然，這對于端正學習態度、養成學習習慣、提高學業成績、優化學習品質，采勸對癥下藥”的策略，開展對學習常規的指導，無疑會收到較好的效果。但是，數學學習方法的指導，決不能忽視數學所特有的學習方法的指導?？梢哉f，這才是數學學法指導之內核和要害。也就是說，數學學法指導應該著重指導學生學會理解數學知識、學會解決數學問題、學會數學地思維、學會數學交流、學會用數學解決實際問題等。有鑒于此，筆者主要從“數學”、“數學學習”出發，來闡釋數學學習方法，論述數學學法指導。

二

從數學的角度出發，就是要考察數學的特點。關于數學的特點，雖仍有爭議，但傳統或者說比較科學的提法仍是3條：高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和應用的廣泛性。

1．數學研究的對象本來是現實的，但由于數學僅從空間形式與數量關系方面來反映客觀現實，所以數學是逐級抽象的產物。比如三角形形狀的實物模型隨處可見，多種多樣，名目繁多，但數學中的“三角形”卻是一種抽象的思維形式（概念），撇開了人們常見的各種三角形形狀實物的諸多性質（如天然屬性、物理性質等）。因此，學習數學首當其沖的是要學習抽象。而抽象又離不開概括，也離不開比較和分類，可以說比較、分類、概括是抽象的基礎和前提。比如，要從已經過抽象得出的物體運動速度v＝v0＋at、產品的成本m＝m0＋at、金屬加熱引起的長度變化l＝l0＋at中再次抽象出一次函數f（x）＝ax＋b，顯然要經過比較（它們的異同）和概括（它們的共同特征）。根據數學高度抽象性的特點，數學學法指導要強調比較、分類、概括、抽象等思維方法的指導。

2．數學結論的可靠性有其嚴格的要求，觀察和實驗不能作為論證的依據和方法，而是要經過邏輯推理（表現為證明或計算），方能得以承認。比如，“三角形內角和為180°”這個結論，通過測量的方法是不能確立的，唯有在歐氏幾何體系中經過數學證明才能肯定其正確性（確定性）。在數學中，只有通過邏輯證明和符合邏輯的計算而得到的結論，才是可靠的。事實上，任何數學研究都離不開證明和計算，證明和計算是極其主要的數學活動，而通常所說的“數學思想方法往往是數學中證明和計算的方法。探求數學問題的解法也就是尋找相應的證明或計算的具體方法。從這一點上來說，證明或計算是任何一種數學思想方法的組成部分，又是任何一種數學思想方法的目標和表述形式”［4］。又由于證明和計算主要依靠的是歸納與演繹、分析與綜合，所以根據數學邏輯的嚴謹性特點，數學學法指導要重視歸納法、演繹法、分析法、綜合法的指導。

3．由于任何客觀對象都有其空間形式和數量關系，因而從理論上說以空間形式與數量關系為研究對象的數學可以應用于客觀世界的一切領域，即可謂宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無處不用數學。應用數學解決問題，不但首先要提出問題，并用明確的語言加以表述，而且要建立數學模型，還要對數學模型進行數學推導和論證，對數學結果進行檢驗和評價。也就是說，數學之應用，它不僅表現為一種工具，一種語言，而且是一種方法，是一種思維模式。根據數學應用的廣泛性特點，數學學法指導還要指導學生建立和操作數學模型，以及進行檢驗和評價。

三

從數學學習的角度出發，就是要通過對數學學習過程的考察，引申出數學學法指導的內容和策略。關于數學學習的過程，比較新穎的觀點是：“在原有行為結構與認知結構的基礎上，或是將環境對象納入其間（同化），或是因環境作用而引起原有結構的改變（順應），于是形成新的行為結構與認知結構，如此不斷往復，直到達成相對的適應性平衡”［5］。通過對這一認識的分析和理解，就數學學法指導而言，可概括出以下3點：

1．行為結構既是學習新知的目的和結果，又是學習新知的基礎，因而在數學教學中亦需注重外部行為結構形成的指導。由于這種外部行為主要包括外部實物操作和外部符號（主要是語言）活動，所以在數學學法指導中，一要重視學具的操作（可要求學生盡可能多地制作學具，操作學具）；二要重視學生的言語表達（給學生盡可能多地提供言語交流的機會，可以是教師與學生間的交流，也可以是學生與學生之間的交流）。

2．認知結構同樣既是學習新知的目的和結果，也是學習新知的基礎，故而數學教學要加強數學認知結構形成的指導。所謂數學認知結構，是指學生頭腦中的知識結構按自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維等認知特點，組合成的一個具有內部規律的整體結構。因此，對于學生形成數學認知結構的指導，關鍵在于不斷地提高所呈現的數學知識和經驗的結構化程度。在數學學法指導中，須注意如下幾點：①加強數學知識間聯系的教學。無論是新知識的引入和理解，還是鞏固和應用，尤其是知識的復習和整理，都要從知識間的聯系出發。②重視數學思想的挖掘和滲透。由于數學思想是對數學的本質的認識，因而數學思想是數學知識結構建立的基礎。常見的數學思想有：符號思想、對應思想、數形結合思想、歸納思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重數學方法的明晰教學。數學方法作為解決問題的手段，是建立數學知識結構的橋梁。常見的數學方法有：化歸法、構造法、參數法、變換法、換元法、配方法、反證法、數學歸納法等。

近幾年來，旨在教會學生會學習、提高學生自學能力的學法指導的研究和實踐已是基礎教育改革的一個熱門課題。這

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3．在原有行為結構與認知結構的基礎上，無論是通過同化，還是通過順應來獲得新知，必須是在一種學習機制的作用下方能實現。而這種學習機

制主要就是對學習新知過程的監控和調節，即所謂的元學習。實質上，能否會學，關鍵就在于這種學習是否建立起來。于是，元學習的指導又成為數學方法指導的重要內容。為此，在數學學法指導中，需要注意：①要傳授程序性知識和情境性知識。程序性知識即是對數學活動方式的概括，如遇到一個數學證明題該先干什么，后干什么，再干什么，就是所謂的程序性知識。情境性知識即是對具體數學理論或技能的應用背景和條件的概括，如掌握換元法的具體步驟，獲得換元技能，懂得在什么條件下應用換元法更有效，就是一種情境性知識。②盡可能讓學生了解影響數學學習（數學認知）的各種因素。比如，學習材料的呈現方式是文字的、字母的，還是圖形的；學習任務是計算、證明，還是解決問題，等等。這些學習材料和學習任務方面的因素，都對數學學習產生影響。③要充分揭示數學思維的過程。比如，揭示知識的形成過程、思路的產生過程、嘗試探索過程和偏差糾正過程。④幫助學生進行自我診斷，明確其自身數學學習的特征。比如：有的學生擅長代數，而認知幾何較差；有的學生記憶力較強而理解力較弱；還有的學生口頭表達不如書面表達等。⑤指導學生對學習活動進行評價。如評價問題理解的正確性、學習計劃的可行性、解題程序的簡捷性、解題方法的有效性等諸多方面。⑥幫助學生形成自我監控的意識。如監控認知方向意識、認知過程意識和調節認知策略意識等等。

四

根據數學內容的性質，數學教學一般可分為概念教學、命題（主要有定理、公式、法則、性質）教學、例題教學、習題教學、總結與復習等5類。相應地，數學學法指導的實施亦需分別落實到這5類教學之中。這里僅就例題教學中如何實施數學學法指導談談自己的認識。

1．根據學生的學情安排例題。如前所述，學習新知必須建立在已有的基礎之上，從內容上講，這個基礎既包括知識基礎，又包括認知水平和認知能力，還包括學習興趣、認知意識，乃至學習態度等有關學習動力系統方面的準備。因此，無論是選配例題，還是安排例題，都要考慮到學生的學習情況，尤其是要考慮激發學生認知興趣和認知需求的原則（稱之為動機原則）。在例題選配和安排中，可采取增、刪、調的策略，力求既突出重點，又符合學生的學情。所謂增，即根據學生的認知缺陷增補鋪墊性例題，或者為突破某個難點增加過渡性例題。所謂刪，即根據學生情況，刪去比較簡單的例題或要求過高的難題。所謂調，即根據學生的實際水平，將后面的例題調至前面先教，或者將前面的例題調到后面后教。

2．根據學習目標和任務精選例題。例題的作用是多方面的，最基本的莫過于理解知識，應用知識，鞏固知識；莫過于訓練數學技能，培養數學能力，發展數學觀念。為發揮例題的這些基本作用，就要根據學習目標和任務選配例題。具體的策略是：增、刪、并。這里的增，即為突出某個知識點、某項數學技能、某種數學能力等重點內容而增補強化性例題，或者根據聯系社會發展的需要，增加補充性例題。這里的刪，即指刪去那些作用不大或者過時的例題。所謂并，即為突出某項內容把單元內前后的幾個例題合并為一個例題，或者為突出知識間的聯系打破單元界限而把不同內容的例題綜合在一起。

3．根據解題的心理過程設計例題教學程序。按照波利亞的解題理論，一般把解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧等4個階段。這是針對解題過程本身而言的。但就解題教學來說，還應當增加一個步驟，也是首要環節，即要使學生“進入問題情境”，讓學生產生一種認知的需要。對于“進入問題情境”環節，要求教師用簡短的語言，在承上啟下中，提出學習目標，明確學習任務，激起認知沖突。而對其余4個環節，教師的行為可按波利亞的“怎樣解題表”中的要求去構思。一般教師和學生都能夠注意做到做好前3個環節，卻容易忽視“回顧”環節。

嚴格說來，回顧環節對解題能力的提高，對例題教學目的的實現起著不可替代的作用。對回顧環節來講，除波利亞提出的幾條以外，更為主要的是對解題方法的概括和反思，并使其能遷移到其它問題的解決之中。

篇(4)

一、數學知識研究

傳統上認為數學教師至少要掌握他所教的數學知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數學知識以外，數學教師還需要掌握像組織教學、控制課堂秩序等一些教學知識。隨著教學研究的深入，人們發現教師僅僅知道他所教的數學的術語、本畢業論文由整理提供概念、命題、法則等知識是不夠的?！酥?，教師還要知道數學的學科結構。學科結構的概念最早源于Schwab。他指出了理解學科結構的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學科所表現出來的邏輯結構方面去了解學科結構。比如，引入無理數表示不可公度線段，引入負數與復數表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產生這些概念的前后聯系才能揭示。所謂實體性地是指從學科的概念設計角度去了解學科結構。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數學的學科結構知識稱為關于數學的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發展的，真理是如何確認的，又將用到哪里去。

主要有三個維度：一是約定與邏輯建構的區別。正數在數軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數沒有定義或者任意一個數的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數學內部之問的聯系以及數學與其他領域之間的聯系；三是了解數學領域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。

對數學知識的研究，拓寬了人們對教學用的數學知識的理解。它顯示教學用的數學知識是很復雜的，除了術語、概念、法則、程序之外，還有數學學科結構或者關于數學的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產生影響。比如，約定的與邏輯建構的概念的教學策略會有很大的不同，邏輯建構的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關系是怎樣的，它的應用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數學教學，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學生所必須的教學上的理解。比如，僅僅通過推導知道(+6)=a+2ab+b對有效教學是不夠的，教師還需要知道一些學生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學生誤解的知識與消除誤解的教學策略顯然不能納入數學知識的框架，教學用的數學知識的復雜性要求更精致的框架來描述。

二、教材分析研究

有效的教學必須考慮學生已有的知識和知識呈現的最佳序列。在數學學科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關概念，是在學生的頭腦里培育這樣一個領域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內數的加減法的知識包。在這個知識包內，中心概念是20至100數的“借位減法”，它是學習多位數的加減的關鍵前提。

馬力平的知識包實際上是我國內地傳統的教材分析研究。這類研究結果是教學參考書的主要內容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數學知識的分析更接近教學用的數學。但它也不是教師教學時使用的數學知識。它最多是教師對教學的考慮，沒有考慮師生互動時產生的數學需求。教師在教學時，能夠動員起來的知識不一定符合教學情境的需要。本畢業論文由整理提供比如教師預期的一種學生的反應在與學生的互動中沒有出現，教師以學生的這種反應為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學時使用的數學知識還有一段距離，教師在教學時可能用得上，也可能用不上。教師在教學時所需要的數學知識遠遠超出教材分析所能提供的內容。

三、教學用的數學知識研究

Ball開創了教學用的數學知識研究。她通過分析數學教學的核心活動，直接研究課堂教學中教師使用的數學知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結果。該課內容是三年級多位數減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數l7開始向后數數，一直數到32得到答案。ba認為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數一下剩余的就行了。Cassandia提供了標準的減法算法，Scan受到啟發，提供了另一種解法：16+16=32，整節課，學生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認為，這節課教學的核心活動是處理數學知識的關聯和控制課堂討論。知識的關聯涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關聯的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關聯的、教具的表征如何轉化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉化為Sean的向后數數的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協調，控制課堂討論首先表現在提供線索和解釋，推動正確的方法的發展；其次表現在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結論超過了三年級學生的理解能力。

Ball對這節課教師需要使用的數學知識進行了歸納。除了傳統的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數學眼光去審查、分析和協調學生的多種解法。最后，教師還需要一些關于數學論證的知識。

通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學用的數學知識的一部分，其余大部分只能在分析數學教學的核心活動中才能得到。

四、啟示

1．教學用的數學知識是有效教學的知識基礎。它與數學家的數學知識、教材分析得出的數學知識是不一樣的。它具有一種教學上有用的數學理解，這種理解主要集中于學生的觀念和誤解上。學生對特定內容的理解是有差異的，教師需要調和學生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉換，引導學生把知識進一步組織，促進學生在已有的知識基礎上有效學習。

2．教學用的數學知識是高觀點下的數學知識，它聯系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學三年級的兩位數退位減法，但是，通過對課堂教學核心數學活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數學的等價、同構、相似性和表征之間的轉化等概念。從結構上說，前五種解法是同構的，前五種解法和最后一種缺失加數的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數學結構上理清這些解法的關系，才能有效地引導學生在不同的方法之間轉換并分清這些方法的異同，促進學生高效地組織自己的數學知識。香港的“課堂學習研究”也證實，數學專家參與的教研活動，能提升課堂教學的有效性。

3．教學用的數學知識存在一定的結構。首先是學生理解的知識。像Ball的課例所展示的，學生對退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識是教師教學的起點。以學生已有的知識為起點自下而上的講授使知識加以擴充，把新知識與學生已經構成內在網絡的概念和方法聯系起來，這是提高教學效率的奧妙；其次是教學策略。像Ball的課例所展示的，學生的理解各種各樣，需要教師使用相應的策略來控制課堂討論，協調不同的方法，促進正確的方法發展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識。教師需要提供線索和解釋，矯正學生的誤解，促進學生自我評價的參與，促進學生進一步精簡合理化知識；第四，課程知識。像馬力平的知識包概念所揭示的，特定課題呈現的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學科的橫向聯系，是教師用來教學的數學知識基礎。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學科各知識點的固著關系及其潛在距離，構建適合學生特點的、具有合適梯度的結構序列，是提高教學效率的基礎；最后是教學目的的統領性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對學生的經驗進行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對數學的理解、信念數學的認識論以及對特定學生最有價值的數學知識的判斷。當然，這些成分是從不同的維度來說明教學用的數學知識的屬性，它們之間的關系及提高課題教學效率的機制還需從課堂教學的經驗出發進一步的概念化。超級秘書網

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論文關鍵詞：數學；學科教學知識；養成

數學學科教學知識是數學教師通過數學學科內容知識和有效教學策略交互作用，幫助學生有效學習數學知識的知識。數學學科教學知識是數學教師知識的核心，是保持數學教師知識復合性、動態性的原動力，并能拓寬教師專業發展的知識基礎。數學教師可以通過教育敘事、教學反思和樹立動態的課程觀在教育實踐中逐步養成數學學科教學知識。

一、數學學科教學知識的重要性

1．數學學科教學知識是數學教師知識的核心。數學學科教學知識是數學教師個人獨一無二的教學經驗，是教師在特定的時刻、特定的情景中利用可能的條件對數學知識的特殊整合，它是數學教師知識結構中的核心部分。數學學科教學知識走進數學教師知識之中，通過協調和整合，不僅實現了數學知識和教育性知識的銜接，還把數學教學活動中一切有利于數學教學的可能元素、知識納入到教師的數學教學思維之中，為實現有效地數學教學創設了必要條件。

2．數學學科教學知識是保持數學教師知識復合性、動態性的原動力。數學教師知識的復合性是指數學知識結構的橫向拓寬與縱向深化；動態性是指數學教師自入職進入教學場域中后，教師知識在其職業生涯中不斷發展和提高。由于數學學科教學知識就是從動態的角度建構，教師視教學情景、學生要求等變化形成學科教學知識，動態性的學科教學知識不斷地為數學教師知識補充源頭活水，使之始終處于運動之中，所以數學學科教學知識正是保證數學教師知識這種復合性、動態性的原動力。

3．數學學科教學知識拓寬了教師專業發展的知識基礎。很長一段時間以來，很多數學教師都是著重發展三個方面的知識，即數學學科專業知識、教育類知識和普通文化知識。這種知識結構不僅狹窄，而且之間也相互孤立，造成這種局面的主要原因是遺漏了關于學生的知識、學習的知識和教學情景的知識。數學學科教學知識正彌補了這種缺陷，把學生的知識、學習的知識和教學情景的知識融合進來，這就實現了數學教師有效知識的不斷增長和更新，擴充了教師的知識結構，拓寬了教師專業發展的知識基礎。

二、數學教師養成數學學科教學知識的途徑

1．重在積累——在教育敘事中養成數學學科教學知識。教育敘事一般是從教育生活中發現研究的主題，是一種對教育生活體驗的“傳記”，對教育生活的深度描寫。在教學生涯中，當數學教師遇到不同的教材、學生，就經歷著不同的故事；年復一年，當教師再回顧、思考這些教學事件，也就對教學、教材、學生有了新的認識。數學教師通過教育敘事的記錄，可以對教育生活再度思考、詮釋、評價，重新組織教育生活中各方面的知識與經驗，升華對教學的認識，也創造了多重可能的意義，還創造了對舊有詮釋再度思考的空問，并認識到教學中沒有單一的路徑或方案。

2．適時提升——在教學反思中養成數學學科教學知識。教學反思是指教師參照專業領域的價值觀念、行為規范對自己與學生聯系最密切、最投入或最能體現教學意圖的教學實踐的觀察和思考，是對教育教學工作有所改進的理性認識。數學教師通過反思自己的教育理念，可形成對學生、教學目標的設計和分解、知識與能力、知識與品德的新的認識，并獲得一種新的認知方式，逐漸形成自己的教學思想。通過教學反思還能使數學教師積極建構動態的和靈活開放的教育思維方式，實現教學效果的最佳。事實上，數學教師的學科教學知識的形成過程與教學反思過程是同步的、方式也是一致的，數學學科教學知識在一定程度上也是在這種同步和一致性中養成。

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1．數學建模競賽有利于學生創新思維的培養。數學建模是對現實問題進行合理假設，適當簡化，借助數學知識對實際問題進行科學化處理的過程。數學建模競賽的選題都是源于真實的，受社會關注的熱點問題［2］。例如:小區開放對道路通行的影響(2016年賽題)，2010上海世博會影響力的定量評估(2010年賽題)，題目有著明確的背景和要求，鼓勵參賽者選擇不同的角度和指標來說明問題，整個數學建模的過程力求合理，鼓勵創新，沒有標準答案，沒有固定方法，沒有指定參考書，甚至沒有現成數學工具，這就要求學生在具備一定基本知識的基礎上，獨立的思考，相互討論，反復推敲，最后形成一個好的解決方案，參賽作品好壞的評判標準是模型的思路和方法的合理性、創新性，模型結論的科學性。同一個實際問題從不同的側面、角度去思考或用不同的數學知識去解決就會得到不盡相同的數學模型。數學建模競賽不僅是培養和提高學生創新能力和綜合素質的新途徑，也是將數學理論知識廣泛應用于各科學領域和經濟領域的有效切入點和生長點。

2．數學建模競賽有利于促進學生知識結構的完善。高校的理工科專業都開設很多基礎數學課，例如:高等數學、線性代數、概率統計、運籌學、微分方程等，目前這些課程基本上還是理論教學，主要以考試、考研為主要目標。由于缺少實際問題的應用，知識點相對分散，很多學生不知道學了有什么用，怎么用。那么如何將所學的基礎知識高效的立體組裝起來，并有針對性拓展和延伸，是一個重要的研究課題［3］。實踐表明:數學建模競賽對于促進大學生知識結構完善是一個極好的載體。例如在解決2009年賽題———眼科病床的合理安排的問題時，學生不僅要借助數理統計方法，找到醫院安排不同疾病手術時間的不合理性，還要結合運籌學給出新的病床安排方案，并結合實際情況評估新方案合理性;2014年賽題嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略，參賽學生首先根據受力分析和數據，判斷出可能的變軌位置，再結合微分方程和控制論構建模型，并借助計算機軟件求解，找到較好的軌道設計方案。整個數學建模過程中，參賽學生將所學分散的數學知識點拼裝集成化，在知識體系上，數學建模實現了知識性、實踐性、創造性、綜合性、應用性為一體的過程;在知識結構上，數學建模實現了學生知識結構從單一型、集中型向復合型的轉變。

3．數學建模競賽有利于培養學生的團隊協作精神，提高溝通能力?，F代社會競爭日趨激烈，具備良好的團隊協作和溝通能力的優秀人才越來越受到社會的青睞。數學建模競賽也需要三個隊員組成一個團隊，因為要在規定的時間內完成確定選題，分析問題、建立模型、求解模型，結果分析，單靠一個人是很難完成的，這就必須要由團隊成員之間相互尊重、相互信任、互補互助，并且發揮團隊協作精神，才能讓團隊的工作效率發揮到最大。同時，數學建模作為一種創造性腦力活動，不僅要求團隊成員之間學會傾聽別人意見，還要善于提出自己的想法和見解，并清晰、準確地表達出來。團隊成員間良好的溝通能力，不僅可激發團隊成員的競賽熱情和動力，還可以形成更加默契、緊密的關系，從而使競賽團隊效益達到最大化。

二、依托數學建模競賽，提升大學生創新實踐能力的對策

1．以數學建模競賽為抓手，構建分層的數學建模教學體系，拓寬學生受益面。不同專業和年級學生的學習基礎、學習能力和培養的側重點都存在較大差異，構建數學建模層次化教學課程體系有利于增強學生學習和使用數學的興趣，讓更多的學生了解數學建模以及競賽，通過自己動手解決實際問題，更加真切感覺到數學的應用價值，切實增強數學的影響力，擴大學生的受益面。南京郵電大學、華南農業大學、重慶大學和南京理工大學等高校這些方面相關工作和經驗值得借鑒。因此，構建數學建模分層課程體系，在課程內容設置上，結合專業特色，有針對性設置教學方案和內容，逐步完善具有不同專業特色的數學建模教材，講義和數據庫、并保持定期更新，不斷深入推進創新教學理念［4］;在課程時間的安排上，遵循循序漸進的基本思路，一、二年級大學生開設數學建模選修課，介紹數學建模的基本理論和一些基本建模方法，三年級、四年級和研究生階段開設創新性數學實驗課程，重點訓練學生應用數學知識解決實際問題的動手能力，并通過參加建模培訓、數學建模競賽以及課外科研活動，培養學生學習解決實際問題的能力;在課程目標的定位上，數學建模有別于其他的數學課程，集中體現在數學的應用、實踐與創新，因此，數學建模不僅是一門課程，同時也是一門集成各種技術來解決實際問題的工具［6］。

2．以數學建模競賽為載體，搭建橫縱向科技服務平臺，擴大數學建模影響力。數學建模競賽的理念是“一次參賽，終身受益”，這就要求數學建?；顒右⒆愀哌h，不斷向縱深推進與發展，將數學建模應用融入服務國計民生。因此，選擇優秀本科學生、研究生和畢業生，結合大學生創新創業計劃，科研課題以及企事業單位關注的問題等，讓他們自己動手去調查數據，查閱相關建模問題的文獻資料，建立數學模型，借助軟件進行模型求解，最后獨立撰寫出建?？萍颊撐幕驔Q策咨詢報告。全程參與“課外實習與科技活動”的方式，不僅實現了因需施教、因材施教的目標，還搭建了連接企業和學生的橋梁，不僅讓大學生創新創業落到實處，為企事業單位提供了智力支撐，真正實現所學知識服務社會。

3．以數學建模競賽為平臺，加強教師的隊伍建設，提升教師教育教學能力。數學建模授課和指導教師的教育教學能力直接影響著學生的創新能力。教育教學能力是指教師從事教學活動、完成教學任務、指導學生學習所需要的各種能力和素質的總和。數學建模的教學與傳統數學教學相比，對教師的動手能力、教學內容駕馭能力、教學研究和創新能力等有較高的要求，因此，數學建模指導教師可以通過自主研修，網絡研修，參與集體備課、聽評課、教學研討等方式提高自身業務水平，同時積極參與賽區、全國組織的學習和培訓，加強交流，開闊視野，不斷地提高自我認知、認識水平。只有建成一支高素質、實力雄厚、結構合理、富有創新能力和協作精神的學科梯隊，數學建模整體水平才能有較大提升，才能適應數學建模發展的現實需要，切實有利于學生創新實踐能力的提高［6，7］。

三、我校數學建模教學和競賽改革的實踐

1．構建模塊化教學體系。針對我校輕工特色，結合專業培養需求，構建模塊化教學體系。針對食品、生工、醫藥、化工和輕化等實驗科學為主的專業，重點將實驗設計、數據處理、數據分析和預測分析等內容模塊化;針對數學基礎較好的物聯網、計算機、信息計算和自動化等專業，構建微分方程，運籌優化和控制論等內容模塊化;偏于社科類的管理、會計、金融和國貿等專業，重點將概率模型、優化等內容模塊化。再結合數學建模競賽和大學生創新創業計劃，構建“專業基礎模塊+知識拓展模塊+競賽需求模塊+科研論文寫作模塊”的實踐教學體系。

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一、要確立素質教育的觀念

數學教學要提高學生的數學素質。要使學生有清晰的數學觀念，有全面的、牢固的，結成網絡的數學知識，有運用數學知識解決實際問題的能力。教學必須面對全體學生，必須嚴格按規定授完全部教材內容（不管是否考這些內容）。而且教學時概念必須交待準確，數理必須交待清楚，做到每個判斷都有依據，每個推理都有道理。要在此基礎上談算法。

例如，不能說“一塊厚紙板是一個長方形”，應該說這塊厚紙板的正面是一個長方形。學到長方體之后還應該說這塊厚紙板是一個長方體，它的正面，反面都是長方形，還有4個長方形的面仔細看才看得到。教學“3.5米等于多少厘米”要使學生知道：1米是100厘米，3.5米是3.5個100厘米，即100×3.5厘米。按乘法的意義，列式時進率100要寫在乘號的前面。教應用題就要教學生分析數量關系，制定解答方案，然后計算結果。要讓學生獨立思考，獨立解答。

教學要緊緊依據教材，注意不要增加名詞述語及提出不科學的提法如說“最小的數是0”、“被減數一定大于減數”等。要依據運算意義確定算法，不要提死辦法，如“飛走是減”、“一共是加”、“照這樣計算就是要求單一量”……。

二、要指導學生進行初步的邏輯思維

小學生的思維方式正處在從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段。他們的思維一般要借助實物、圖形或者頭腦中的表象來進行。應當肯定，形象思維是一種很好的思維方法，可以終生受用。但是，僅有具體形象思維是不夠的，還必須掌握抽象邏輯思維的方法，以提高思維能力。教學中可以滲透一些抽象邏輯思維的因素。

如教一位數加法，就不必每題都擺弄教具，可指導學生進行算理的推敲（其實很多教師都做了）。例如教8+7，可以指導學生這樣算，8只需補上2就得10，從7里面拿出2與8相加之后余下5，所以8+7

（附圖{圖}）

象地演示教具：①擺8和7；②將8放入鐵筒；③問還要放幾個就夠10個；④把7分成2和5，把2放入鐵筒；⑤問筒里有幾個，筒外有幾；⑥確定8+7=15。

又如解答兩次歸一問題“4匹馬5天飼料100千克。照這樣計算，6匹馬7天飼料多少千克？”如果畫圖表示題意尋求解題方法就很難，而且畫出的圖太繁反而失直觀作用?？梢砸龑W生冷靜而深入地思考：要求“6匹馬7天吃多少千克”需要知道“1匹馬1天吃多少千克”。從“4匹馬5天吃100千克”可以求出“1匹馬1天吃多少千克”。題目說明“照這樣計算”表明這個標準不改變，可以用來求“6匹馬7天吃多少千克”。思考到這里可以肯定分兩大步解答：①求4匹馬1天吃多少，再求1匹馬1天吃多少；②求1匹馬7天吃多少，再求6匹馬7天吃多少。本題的解法是：100÷5÷4×7×6=210（千克）或者100÷4÷5×6×7＝210……

再如解盈虧問題（作為提高題來研究）“一組小朋友分一籃李果。每人3個余下4個，每人5個不足8個。這組小朋友有多少人？這籃李果有多少個？”可以這樣想：從每人多分一些李果造成總需求量增加，由此可以算出人數，進而求出李果數。具體來說，由于每人多分5-3=2（個），結果由余4個變成不足8個，需要李果的總數就多了4+8=12（個），這12個是每人多分2個造成的，可知人數是12÷2=6（人）；李果數是3×6+4=22（個），驗算：5×6-8=22（個）。

三、適當作一些論證

小學數學教學只要求教師通過實驗得出結果就可以作出結論，至于結論成立與否并不作論證。久而久之，學生就會認為實驗就是證明，這種觀念對學習數學非常不利。教師可以在適宜的問題抓住時機作一些論證，使學生確信所得結論的必然性，更重要的是使學生知道數學的嚴密性。

例如，教學時可以使用不完全歸納法。如15×20=300,20×15=300，所以15×20=20×15;18×125=2250,125×18=2250，所以18×125=125×18，……經過多次實驗都得到交換因數位置積不變的結果，從而歸納出乘法交換律，切忌一例立論。

有些地方可以作相當正式的證明。如找圖中相

（附圖{圖}）

∠2＝∠4，還可以測量證實。但是，只經過實驗就作結論不夠嚴謹，可以作如下證明：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠2＝180°，∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2，所以∠1＝∠3。簡單的證明可使學生領略數學的嚴密性。

四、適時培養初步的空間想象力

數學教學要培養學生初步的空間觀念，使學生對物體的形狀、大小、位置、方向、距離等有明確的認識，對學過的形體以及接觸過的物體、場地、河山等能夠在頭腦中形成表象。教師要引導學生借助表象進行思考，并以此為起點培養學生初步的空間想象力。

如解答籃球場鋪混凝土多少立方米的應用問題，應引導學生想象出這些混凝土鋪在球場上將形成一個長方體，混凝土的厚度就是這個長方體的高。又如解答長方體形狀的糞池四壁和池底涂抹水泥問題，應引導學生想象出這個池無蓋，涂抹面只有5個。

解答復合應用題也應幫助學生想象出應用題的情境以至數量關系。如解答相遇問題應幫助學生想象出：一條路的兩頭各有一輛車，它們同時相向行駛，越來越靠近，單位時間靠近一段路程，全路程包括多少個這段路程就在多少個單位時間后相遇。

五、教好簡易方程和幾何初步知識

教好小學教材中的簡易方程，不要人為拔高，不要引進中學的定理、方法。例如，列方程解應用題不急于計算結果，首先把各數的位置擺好，然后找出數量之間的相等關系，根據數量關系建立方程，用等式表達未知數和已知數之間的關系，然后解方程求答數。列方程解應用題能解答復雜疑難的問題，是中學的主要解題方法，小學應該認真做好孕伏。

小學要教好幾何初步知識，為中學作準備。教學中應認真進行操作性練習。如①過直線外的一點作直線的垂線和斜線，量該點到直線之間的各條線段，找出其中最短的。②過角內的一點作兩邊的垂線和平行線，看哪種畫法得到平行四邊形。③過線段兩端各作一條垂線；過線段的一端作一個直角，另一端同側作一個45°的角；過線段的一端作30°的角，另一端同側作60°的角；過線段兩端同側各作一個75°的角；過線段兩端同側分別作30°和45°的角，看哪種作法得到三角形，得到怎樣的三角形。

六、認真滲透現代數學思想

教材里隱含有函數、對應、集合等內容，教學時應挖掘出來進行滲透，但不給概念，不出名詞。

函數的例子隨處可見。如“桃樹棵數比李樹的2倍多5棵”，用關系式表示是：

桃樹棵數＝李樹棵數×2+5其中“李樹棵數”是自變量，“桃樹棵數”是自變量的函數。“李樹棵數”變化，“桃樹棵數”也隨之變化。

對應思想在小學數學教材里隨處可見，把求相差轉化為求剩余就是其中一例。如：有紅花6朵，黃花

（附圖{圖}）

通過一一對應發現紅花里有4朵和黃花一樣多，另外還剩下2朵，即紅花比黃花多2朵。

集合在數的整除里有過廣泛的運用，有些思考題也應用集合來解答。

現代數學思想融匯在教材之中，要注意挖掘，進行滲透，使學生及早接觸并初步領略它。

七、加強思維品質的培養

在數學教學中，應有意識地培養學生良好的思維品質。

思維要有方向，有根據，不能胡思亂想。如用分析法分析數量關系，尋找解題方案，是從問題出發進行分析推理，形成解題思路，方向很明確。研究其他問題也可以這樣進行。

思維應有靈活性。要提倡學生從多角度去考慮同一問題，用多種方法去解決，不應強求統一，但要注意鼓勵學生采用最佳的方法。

有思維的靈活性才會有思維的創造性。思維靈活的學生能找出老師未講過的、一般人想不到、有時似乎異想的解決問題的方法。如表達“鹽的重量占海水的3%”，可能想出多種方法：

①鹽的重量＝海水重量×3%

②鹽的重量＝海水重量÷100×3

鹽的重量

③────＝3%

海水重量

（附圖{圖}）

思維的創造性還有賴于思維的深刻性。能運用所學知識深入鉆研才能解決較難的問題。如要發現圖中陰影的兩個部分面積相等，就要深入鉆研。通過鉆研就能發現圖中有兩個同底等高的三角形，它們各自減去同一個三角形，得出的兩個差相等。

思維的敏捷性反映思維的效率，提高思維的敏捷性需要講究思維方法，還要加強訓練。

總之，良好的思維品質不能給予，但可以培養，要給學生鍛煉的機會，并堅持不懈。

八、加強學習品質的培養

學生良好的學習品質要教師去培養，教師要讓學生對學習有興趣和愛好，有責任心和主動性，有鉆研精神和毅力，有合理的學習方法和良好的學習習慣。這里有幾點認識：

1.僅靠興趣支持學習還不行。要教育學生產生理想和期望，讓他們用理想來支持學習，這樣，責任心和鉆研精神才能保持長久。